Distanza di un punto da una retta nello spazio

[JackPirri]

Ciao, devo calcolare la distanza tra il punto P=(1,1,1) e la retta r={t(-1,-3,0)+(2,0,4)}.Sugli appunti l’esercitatore ha seguito un metodo diverso dal mio.Alla fine trova che la distanza è pari a $sqrt(53/5)$.Ha sostituito le coordinate parametriche della retta nell’equazione cartesiana del piano.Io invece ho determinato le equazioni cartesiane della retta r e hofatto il sistema con quella del piano (ortogonale a r e passante per il punto P).Ho trovato il punto $P’=(7/4,-3/4,4)$.Ho calcolato poi la distanza tra P e P’ che ho trovato essere uguale a $sqrt(101/8)$.Calcolando le due radici si ha una differenza di 0,25.È una differenza trascurabile e quindi non ho sbagliato i calcoli oppure no? Non ho capito poi in cosa si misura questa distanza ( se ha un’unita di misura o altro).Grazie.

[dissonance]

Quella dell'unità di misura è una buona domanda.

Qui sei in uno spazio astratto, in cui non ci sono unità di misura perché la "distanza" tra due punti \((x_1, y_1, z_1)\) e \((x_2, y_2, z_2)\) è il numero positivo adimensionale
\[
\sqrt{ (x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}.\]
Per ottenere uno spazio astratto di coordinate \((x, y, z)\) dallo spazio fisico dei punti \(P\), devi fissare una origine \(O\) nello spazio fisico e scegliere una terna di vettori \(\mathbf{e}_x, \mathbf{e}_y, \mathbf{e}_z\) che tu dichiari essere ortogonali e di lunghezza 1 unità di misura. Può essere 1 metro, 1 kilometro, o qualsiasi altra cosa; ma una volta che tu li hai fissati, le unità di misura spariscono, perché diventano numeri adimensionali nello spazio delle coordinate.

Fatto questo, ogni punto fisico \(P\) si scrive in modo unico come
\[
P=x\mathbf{e}_x+y\mathbf{e}_y+z\mathbf{e}_z, \]
e quindi corrisponde univocamente alla terna di coordinate \((x, y, z)\).

In breve, per ottenere uno spazio astratto dallo spazio fisico devi fissare una origine, una unità di misura della lunghezza, e un goniometro per stabilire quali vettori sono ortogonali.

[JackPirri]

Grazie per essere intervenuto.Il procedimento che hai descritto è alla fine quello usato per costruire sitemi di riferimento.Ad esempio il sistema di riferimento che costruisco per rappresentare $R^3$ considerando i tre versori (vettori appunto di norma unitaria) .Fissato il punto $O$,applico in questo punto i tre versori fondamentali, ognuno dei quali mi genera uno dei tre assi cartesiani del sistema di riferimento.Gli assi del sistema di riferimento ,se considero la base canonica,sono tra loro ortogonali?Mi verrebbe da dire di sì, perche facendo i 4 prodotti scalari tra i tre versori si ha che sono ortogonali tra loro (i è ortogonale sia a j che a k e questi ultimi sono ortogonali tra loro).Chiedo comunque conferma.La lunghezza dei vettori è data dalla loro norma (o modulo).Se un vettore ha norma 7 vuol dire che è sette volte più lungo rispetto ai tre versori,giusto?Quindi io ,per farla semplice, stabilisco l’unità di misura quando costruisco il sistema di riferimento e poi confronto i vettori dello spazio vettoriale (considerando sempre la loro norma) con i tre versori?

[dissonance]

Il punto è che, in matematica, \(\mathbb R^3\) da solo non basta. Devi fissare \(\mathbb R^3\) e anche un prodotto scalare. In genere si intende che il prodotto scalare è quello standard:
\[
(x, y, z)\cdot(x',y',z')=xx'+yy'+zz'.\]
Fissare un prodotto scalare equivale a stabilire quali basi sono ortonormali e a fissare una unità di misura. In altre parole, fissare un prodotto scalare equivale a introdurre un concetto di lunghezza e un concetto di angolo.

Con il prodotto scalare standard di \(\mathbb R^3\), la base \((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\) è ortonormale.

Quindi io ,per farla semplice, stabilisco l’unità di misura quando costruisco il sistema di riferimento e poi confronto i vettori dello spazio vettoriale (considerando sempre la loro norma) con i tre versori?

Esattamente.

[dissonance]

Sto rileggendo, forse la questione della scelta del prodotto scalare può fare confondere. Nel caso, lascia perdere, credo che comunque la domanda sull'unità di misura sia chiarita.

Quanto al resto dell'esercizio, se tu e il professore trovate risultati diversi, uno dei due si sbaglia. Non puoi dire "è trascurabile", perché stai facendo dei calcoli esatti.