Distanza di un piano da O

[starsuper]

Come da titolo... come mi calcolo la distanza di un generico piano (chiamamolo S) da O?

Ragionamento che ho fatto:

Devo trovare un punto d'intersezione, diciamo Q, tra il piano e il suo complemento ortogonale passante per O. Il complemento ortognale del mio piano posso vederlo come la direzione S0 riscirtto in forma cartesiana omogenea giusto? Dopo pero non so piu come procedere... una mano?


vi ringrazio come al solito...

[apatriarca]

Immagino che tu stia lavorando nello spazio euclideo tridimensionale \(\mathbb R^3\). L'equazione di una retta \(\pi \colon a\,x + b\,y + c\,z + d = 0\) può essere riscritta in forma vettoriale come \( \pi \colon \langle \mathbf{n}, P - O \rangle = - d, \) dove \( \mathbf{n} = (a, b, c) \) è un vettore perpendicolare al piano (non necessariamente di norma unitaria) e \(P\) è un generico punto del piano e \(O\) è l'origine. Ti invito a confrontare questa formula con quella per calcolare la proiezione di un vettore nella direzione di un altro.

P.S. Con \( \langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle \) intendo il prodotto scalare tra \( \mathbf{v} \) e \( \mathbf{w}. \) La proiezione di un vettore \( \mathbf{v} \) lungo la direzione di un vettore \( \mathbf{n} \) è uguale a
\[ \mathop{\mathrm{proj}}\nolimits_{\mathbf{n}} \mathbf{v} = \frac{\langle \mathbf{v}, \mathbf{n} \rangle}{\langle \mathbf{n}, \mathbf{n} \rangle} \, \mathbf{n} = \frac{|\mathbf{v}|\,\cos \varphi}{|\mathbf{n}|} \, \mathbf{n}, \]
dove \( \varphi \) è l'angolo compreso tra i due vettori.