Disporre autovalori sulla diagonale

[vincenzo.delconte]

Salve a tutti,
Sto preparando l esame di algebra lineare e un esercizio sempre presente consiste nel, data una forma quadratica, trovare la sua forma standard.
Allora io, dato che all' abbiamo solo un' ora di tempo, procedo con il calcolo degli autovalori, attraverso il polinomio caratteristico, che poi vado a mettere sulla diagonale della mia matrice diagonale.
Ora la domanda ė: esiste un criterio per disporre in maniera ordinata gli autovalori sulla diagonale?
Per esempio so che metto prima gli autovalori con molteplicità maggiore, ma negli altri casi?

Grazie a chi vorrà rispondermi

[Magma1]

"enzolo89":Per esempio so che metto prima gli autovalori con molteplicità maggiore

Questa è una convenzione.

L'unico criterio universale è dovuto a un principio di coerenza: ricordando che la base si considera un insieme ordinato, occorre disporre gli autovalori nell'ordine in cui sono disposti i rispettivi autovettori nella base:

Data la base ${v_1,..,v_n}$, la forma bilineare standard è

$b(v_i,v_j)=v_iI_nv_j=v_idelta_(ij)v_j=v_iv_i$[nota]$delta_(ij):={ ( 1, if i=j ),( 0, if i ne j ):}$[/nota]

per cui, essendo $a_(ii):=b(v_i,v_j)$, la matrice risulta essere:

$( ( b(v_1,v_1) , 0 , cdots , 0 ),( 0 , b(v_2,v_2) , 0 , 0 ),( vdots , 0 , b(v_i,v_i) , vdots ),( 0 , cdots , 0 , b(v_n,v_n) ) ) $

[vincenzo.delconte]

Ok ho capito...
Quindi devo necessariamente calcolare la base degli autovettori...

E se non lo facessi e decidessi arbitrariamente l ordine cambierebbe qualcosa sul risultato finale?

[Magma1]

"enzolo89":Quindi devo calcolare la base degli autovettori...

E se non lo facessi ?

Il problema non si pone, nel senso che non può essere verificata una discordanza d'ordine tra la disposizione degli autovettori nella base e degli autovalori sulla diagonale; ma in genere è richiesta l'esplicitazione della base.

[vincenzo.delconte]

Nelle soluzioni dei testi d esame il prof riporta unicamente la matrice diagonale con appunto sulla diagonale gli autovalori e la forma standard in coordinate cartesiane.
Tra l altro con 60 minuti per 4 esercizi non credo mi debba mettere anche a determinare anche la base.

[Magma1]

"enzolo89":Nelle soluzioni dei testi d esame il prof riporta unicamente la matrice diagonale con appunto sulla diagonale gli autovalori e la forma standard in coordinate cartesiane.

Considerando la quadratica in forma standard, ovvero una forma bilineare standard:

$Q_(I_n)(x):=b(x_i,x_j)=sum_ilambda_i X_i^2=lambda_1X_1^2+lambda_2X_2^2...+lambda_nX_n^2$

e la matrice rappresentativa

$M_Q= ( ( lambda_1 , 0 , cdots , 0 ),( 0 ,lambda_2 , 0 , 0 ),( vdots , 0 , lambda_(ii) , vdots ),( 0 , cdots , 0 ,lambda_n ) ) $

i.e. ci deve essere una corrispondenza tra l'ordine degli autovalori nell'equazione cartesiana e gli autovalori sulla diagonale.

[vincenzo.delconte]

Ho capito
Sei stato chiarissimo
Grazie mille!!