Disperazione totale...

[G.G211]

L'insieme delle funzioni continue nell'intervallo $ [0,1] $ è metrizzabile con la seguente metrica: date due funzioni $ f1 $, $ f2 $ della variabile $ x $ il numero $ d = max | f1(x) - f2(x) | $ è la distanza tra esse.
Devo dimostrare che con questa metrica la palla chiusa di centro 0 e raggio 1 non è compatta. Non riesco neanche a figurarmela mentalmente una palla fatta così... qualcuno può darmi una mano? Vi ringrazio infinitamente!

[gugo82]

Innanzitutto, titolo più specifico, please.

Per quanto riguarda l'esercizio, basta trovare una successione di funzioni [tex]$f_n$[/tex] definite in [tex]$[0,1]$[/tex] tali che [tex]$\max_{[0,1]} |f_n| \leq 1$[/tex] e però [tex]$f_n$[/tex] non converge uniformemente in [tex]$[0,1]$[/tex].
Di successioni di funzioni siffatte ne dovresti conoscere da Analisi II: prova a pensarci un po'... Se non ti viene nulla in mente ne parliamo.

[dissonance]

Comunque, come Gugo sa benissimo, c'è un modo per immaginare una "palla chiusa" di centro $0$ nello spazio di funzioni che citi. Non è neanche tanto difficile: il grafico di ogni funzione contenuta in questa "palla" ([size=75]quanto è brutto questo termine![/size]) deve essere contenuto in questa striscia:
[asvg]xmin=0; xmax=1; ymin=-1.5; ymax=1.5; axes("label"); xmin=-2;xmax=2; plot("1"); plot("-1");[/asvg]