Disequazione di Cauchy-Schwarz

[pepper9]

Ciao a tutti
Potreste dirmi qual'è (se esiste) il significato geometrico della diseducazione di Cauchy-Schwarz?
$|u*v| \<= |u|^2*|v|^2$
$u,v \in V$

Grazie

[anto_zoolander]

considera $w$ il vettore ortogonale alla proiezione di $u$ su $v$ ossia $w=u-cv$ con $c=(u*v)/norm(v)^2$

quindi $norm(u)^2=norm(u-cv+cv)^2=norm(u-cv)^2+norm(cv)^2=norm(w)^2+norm(cv)^2$



ora $norm(cv)^2=norm((v*u)/norm(v)^2*v)^2=(v*w)^2/norm(v)^2$

ora se $u,v$ sono linearmente indipendenti

[size=85]$norm(u)^2=norm(u-cv+cv)^2=norm(u-cv)^2+norm(cv)^2=norm(w)^2+norm(cv)^2geq(v*w)^2/norm(v)^2=> norm(u)geq(abs(v*u))/norm(v)$[/size]

questo significa che in generale il vettore $u$ è più "lungo" della sua proiezione su un qualsiasi altro vettore.

Se sono linearmente dipendenti si ha l’uguaglianza poiché appunto la proiezione di $u$ su $v$ coincide con $u$ stesso

[dissonance]

"pepper9":diseducazione di Cauchy-Schwarz?

Comunque meglio dire "disuguaglianza" di Cauchy-Schwarz.