Disegnare il grafico di un complesso numero complesso
Ciao a tutti,
mi è stato chiesto di disegnare il grafico magnitudine vs $w$ di un numero complesso che ha questa forma:
$ H(w) = (a-ae^(-j2w))/(b-ce^(-jw)+de^(-j2w)) $
Dove $a, b, c, d$ sono coefficienti reali che mi sono preso la libertà di semplificare mettendoli in una variabile.
Qual è il modo corretto per procedere? Si può assumere che il grafico venga disegnato su assi logaritmici, se questo cambia qualcosa.
mi è stato chiesto di disegnare il grafico magnitudine vs $w$ di un numero complesso che ha questa forma:
$ H(w) = (a-ae^(-j2w))/(b-ce^(-jw)+de^(-j2w)) $
Dove $a, b, c, d$ sono coefficienti reali che mi sono preso la libertà di semplificare mettendoli in una variabile.
Qual è il modo corretto per procedere? Si può assumere che il grafico venga disegnato su assi logaritmici, se questo cambia qualcosa.
Risposte
Devi calcolare il modulo di \(H\). Otterrai una funzione reale della variabile \(w\) e la potrai disegnare. Inizia razionalizzando il denominatore.
Il fatto è che posso anche riscriverla come $H(w) = f_1(e^(j2w))/f_2(e^(jw))$, ma poi non so come conviene procedere. Perché esprimere numeratore e denominatore in forma $a + jb$ per poi andare a dire che la magnitudine è il rapporto dei moduli, porta una funzione non triviale, noiosa da disegnare, mentre dovrebbe essere un esercizio relativamente veloce.
Prova a porre $z=e^{-jw}$, ottieni una funzione razionale che magari si semplifica molto decomponendola in fratti semplici. In ogni caso, per calcolare il modulo di una frazione di solito conviene prima razionalizzare:
\[
z=\frac{a+ib}{\alpha + i \beta} = \frac{(a+ib)(\alpha - i\beta)}{\alpha^2+\beta^2}, \]
quindi
\[
|z|= \frac{1}{\alpha^2+\beta^2}\sqrt{ (a\alpha+b\beta)^2 + (b\alpha - a\beta)^2}, \]
in genere questa ultima formula è più maneggevole.
\[
z=\frac{a+ib}{\alpha + i \beta} = \frac{(a+ib)(\alpha - i\beta)}{\alpha^2+\beta^2}, \]
quindi
\[
|z|= \frac{1}{\alpha^2+\beta^2}\sqrt{ (a\alpha+b\beta)^2 + (b\alpha - a\beta)^2}, \]
in genere questa ultima formula è più maneggevole.
Spero non conti come necroposting, ma avendo fatto login oggi ho pensato di spiegare come abbozzare il grafico di quella funzione, senza però tracciarlo accuratamente.
L'idea è considerare gli estremi $0$ e $pi$ e calcolarne i rispettivi valori, dato che la magnitudine è simmetrica rispetto all'asse delle ordinate e che la frequenza digitale ha periodo $2pi$ (fosse analogica, basterebbe un limite con $Ω rarr ∞$). Dopodichè si vanno a vedere gli zeri e i poli: ad ogni zero corrisponde una caduta di magnitudine, ad ogni polo invece un picco. Non credo il testo specificasse il segno dei coefficienti.
La concavità, i possibili punti di flesso e le varie altre piccolezze invece le si lascia a chi ha tempo di fare uno studio di funzione.
L'idea è considerare gli estremi $0$ e $pi$ e calcolarne i rispettivi valori, dato che la magnitudine è simmetrica rispetto all'asse delle ordinate e che la frequenza digitale ha periodo $2pi$ (fosse analogica, basterebbe un limite con $Ω rarr ∞$). Dopodichè si vanno a vedere gli zeri e i poli: ad ogni zero corrisponde una caduta di magnitudine, ad ogni polo invece un picco. Non credo il testo specificasse il segno dei coefficienti.
La concavità, i possibili punti di flesso e le varie altre piccolezze invece le si lascia a chi ha tempo di fare uno studio di funzione.
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