Discutere il sistema al variare di K

[Andre224]

ciao!!
Sia $ S:RR^3 rarr RR^3 $ l'applicazione lineare $ S: (x,y,z)=(2x+y,2x+y,z) $

discutere al variare di $ K $ il sistema $ S: (x,y,z)=(K^2,K,0) $

Il sistema è impossibile per.............
Il sistema ammette un'unica soluzione per................
Il sistema ammette $ oo ^1 $ soluzioni per...............
Il sistema ammette $ oo ^2 $ soluzioni per...............

(senza ridurre a scala la matrice)

Inizio così: $ { ( 2x+y=K^2 ),( 2x+y=K),( z=0):} rArr | ( 2 , 1, 0),( 2, 1, 0),( 0, 0, 1) || ( x ),( y),( z) |=| ( K^2 ),( K),( 0) | $
La matrice $ | ( 2 , 1, 0),( 2, 1, 0),( 0, 0, 1) | $ ha $ det=0 $
Prendo il minore $ | ( 1 , 0),( 0, 1) | $ $ rarr det| ( 1 , 0),( 0, 1) |=1 rArr rango=2 $

Poi come devo procedere? Devo orlare la matrice 3x3 con il vettore colonna $ (K^2,K,0) $ e ricalcolare il rango?

[blackbishop13]

scritture come $infty^2$ le trovo un po' ambigue, forse sarebbe meglio evitarle.

invece di partire a fare l'esercizio a macchinetta prova a ragionare un po' su ciò che ti viene chiesto:
ti accorgerai che ti si sta chiedendo di risolvere questa equazione: $x^2=x$.

[Andre224]

guarda ho provato a riguardarlo ma non capisco proprio perchè dovrei risolvere $ x^2=x $
comunque è il problema che mi chiede per quali K ho $ oo ^n $ soluzioni..sapendo che $ n=m-rango $ dove $ m $ è il numero di incognite..

[cirasa]

"blackbishop13":scritture come $infty^2$ le trovo un po' ambigue, forse sarebbe meglio evitarle.

invece di partire a fare l'esercizio a macchinetta prova a ragionare un po' su ciò che ti viene chiesto:

Sulla prima frase sono un po' in disaccordo.
Basta stabilirne il significato. Scritture del tipo $infty^s$ hanno un significato ben preciso. Naturalmente basta saperlo.
Sulla seconda frase sono in totale accordo.

Qualche suggerimento in più ad Andre22:

"Andre22":guarda ho provato a riguardarlo ma non capisco proprio perchè dovrei risolvere $ x^2=x $
comunque è il problema che mi chiede per quali K ho $ oo ^n $ soluzioni..sapendo che $ n=m-rango $ dove $ m $ è il numero di incognite..

Sei sulla strada giusta, ma credo che tu abbia le idee un po' confuse.
Penso che tu voglia applicare il teorema di Rouchè-Capelli. E su questo siamo d'accordo.
Il problema è che il teorema ti dice varie cose. Ti dice quando il sistema è incompatibile (o, detto in altri termini, è impossibile) oppure, nel caso in cui il sistema sia compatibile, quante sono le tue soluzioni.
Il tutto si riconduce al calcolo del rango di un paio di matrici, la matrice dei coefficienti e la matrice completa. Hai fatto questo calcolo?
Ricapitolando, voglio sapere
1) Rango della matrice dei coefficienti
2) Rango della matrice completa (al variare di $k$)
3) Quando i due ranghi sono diversi? Cosa succede in questo caso?
4) E quando sono uguali? Cosa succede?

[Andre224]

Dimmi se sbaglio:

$ | ( 2 , 1, 0, K^2),( 2, 1, 0, K),( 0, 0, 1, 0) | $
prendo matrice 3x3: $ | ( 1, 0, K^2),( 1, 0, K),( 0, 1, 0) | $ $ rarr det| ( 1, 0, K^2),( 1, 0, K),( 0, 1, 0) |=K^2-K $
$ K^2-K=0 $ per $ K=0; K=1 $ $ rarr rango=3 $
matrice 2x2: $ | ( 0 , K^2),( 0, K) | $ rarr $ det| ( 0 , K^2),( 0, K) |=0 $ per $ AA K $ $ rarr $ no $ rango=2 $

per K=0: $ { ( 2x+y=K^2 ),( 2x+y=K),( z=0):} rArr { ( 2x+y=0 ),( 2x+y=0),( z=0):} rArr { ( 2x+y=0 ),( z=0):} $
per K=1: $ { ( 2x+y=K^2 ),( 2x+y=K),( z=0):} rArr { ( 2x+y=1 ),( 2x+y=1),( z=0):} rArr { ( 2x+y-1=0 ),( z=0):} $
poi?

[Andre224]

non riesco a vedere i miei messaggi!!!

[cirasa]

Mi sa che devi rivederti il metodo del calcolo del rango.
Ti faccio qualche domanda. Vorrei capire se l'impressione che ho avuto è giusta...
Tu dici (aggiungo qualche commento in rosso nel tuo messaggio):

"Andre22":$ | ( 2 , 1, 0, K^2),( 2, 1, 0, K),( 0, 0, 1, 0) | $ (chiamiamola $A'$)
prendo matrice 3x3: $ | ( 1, 0, K^2),( 1, 0, K),( 0, 1, 0) | $ $ rarr det| ( 1, 0, K^2),( 1, 0, K),( 0, 1, 0) |=K^2-K $ (chiamiamola $B$)
$ K^2-K=0 $ per $ K=0; K=1 $ $ rarr rango=3 $ (rango di chi? Di $A'$ o di $B$?)
matrice 2x2: $ | ( 0 , K^2),( 0, K) | $ rarr $ det| ( 0 , K^2),( 0, K) |=0 $ per $ AA K $ $ rarr $ no $ rango=2 $

In definitiva il rango di $A'$ (che è quella che prima ho chiamato matrice completa) qual è?

P.S. A proposito del problema delle formule, è un problema del browser.
Per risolvere senza perdere troppo tempo, tieni premuto con il tasto sinistro del mouse sul tasto "riporta" accanto al tuo messaggio.
Poi spostati con il mouse da un'altra parte e rilascia il tasto sinistro del mouse.
Non so perchè, ma magicamente le formule riappaiono.