Discutere esistenza e unicità di applicazioni lineari

[tyle]

Esercizio: in $ RR^3 $ ho a'=$ ( ( 1 ),( 2 ),( k) ) $
a''=$ ( ( 0 ),( 1 ),( 2) ) $
a'''=$ ( ( k ),( 2 ),( 1) ) $
e in $ RR^2 $ ho b'=b''=$ ( ( 0 ),( 0 ) ) $
b'''= $ ( ( 1-k ),( 0 ) ) $ .
Discuti esistenza e unicità di f:a' $ rarr $ b'
a'' $ rarr $ b''
a''' $ rarr $ b'''
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Beh,innanzittutto controllo se a',a'',a''' formano una base;vedo che questo accade se $ k != 1 $ e $ k != 3 $.In tal caso $ EE $ un'unica f.
Quando k=1,noto che si ha a'=a''',e questo implica b'=b''';quindi $ EE $ f. In questo caso come faccio a vedere se f è unica o no?
Grazie mille

[cirasa]

Nel caso $k=1$, l'applicazione non è unica perché, puoi completare $a',a''$ ad una base di $RR^3$ ottenendo la base $(a',a'',c)$.
Inoltre puoi scegliere un vettore $d$ qualsiasi di $RR^2$.
Con queste scelte puoi ottenere un'unica applicazione lineare $f:RR^3\to RR^2$ tale che $f(a')=b'$, $f(a'')=b''$ e $f(c)=d$.
Ora, l'arbitrarietà nelle scelte di $c$ e $d$ ti permette di ottenere tante applicazioni lineari diverse fra loro, ovvero tante applicazioni lineari che sono soluzione del tuo esercizio.

[tyle]

Grazie mille !!!!