Discutere diagonalizzabilità' di una matrice
Come da titolo ho qualche problema nello stabilire se una determinata matrice e' diagonalizzabile.. Illustro l'esercizio che sto facendo e il metodo che ho seguito
La matrice data e': $A=((2,0,1,0),(0,k,0,0),(0,0,k,0),(0,0,0,3))$
Io ho calcolato il $det(A-\lambda I)=0$ ottenendo $\lambda= 3,2,k,k$ ovvero k con molteplicita' 2
Quello che non capisco e' cosa dovrei esattamente fare ora... Sostituire $k$ con uno degli altri due autovalori e?
La matrice data e': $A=((2,0,1,0),(0,k,0,0),(0,0,k,0),(0,0,0,3))$
Io ho calcolato il $det(A-\lambda I)=0$ ottenendo $\lambda= 3,2,k,k$ ovvero k con molteplicita' 2
Quello che non capisco e' cosa dovrei esattamente fare ora... Sostituire $k$ con uno degli altri due autovalori e?
Risposte
una matrice è diagonalizzabile quando la molteciplità algebrica coincide con quella geometrica...
per k diverso da 3 e 2, la molteciplità algebrica di k è 2,
per k=3, la molteciplità algebrica di 3 è 3
per k=2, la molteciplità algebrica di 2 è 3
ora prova ad andare avanti da solo
per k diverso da 3 e 2, la molteciplità algebrica di k è 2,
per k=3, la molteciplità algebrica di 3 è 3
per k=2, la molteciplità algebrica di 2 è 3
ora prova ad andare avanti da solo
"MrMojito":
una matrice è diagonalizzabile quando la molteciplità algebrica coincide con quella geometrica...
per k diverso da 3 e 2, la molteciplità algebrica di k è 2,
per k=3, la molteciplità algebrica di 3 è 3
per k=2, la molteciplità algebrica di 2 è 3
ora prova ad andare avanti da solo
Fino a qui non avevo nessun problema ( busi )...
Il problema riguarda il dopo, devo sostituire alla matrice $A-\lambda I$ gli autovalori ( considerando una volta k =3 e una volta k=2 ), e trovarne la dimensione, quella sarebbe la molteplicita' geometrica da eguagliare a quella algebrica?
Ho sbagliato qualcosa oppure?
Per esempio:
Per $k=\lambda=2$ allora $A=((0,0,1,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,1))$ ovvero dimensione =2 che e' diversa dalla molteplicita' algebrica dell'autovalore 2 (in quanto sarebbe 3 ).. Per k=2 la matrice non e' diagonalizzabile
Allo stesso modo per $k=\lambda=3$ allora $A=((-1,0,1,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0))$ ottenendo dimensione 1, che e' diverso dalla molteplicita' algebrica 3.. Anche in questo caso non e' diagonalizzabile
Per k=\=2,3 la matrice e' diagonalizzabile..
E' cosi'?
Per $lambda=K=2$ ci siamo
Per $lambda=K=3$ hai il sistema ${(-x+z=0):}$ quindi hai $V(3)=(z,y,z,t)$ di dim =3, quindi diagonalizzabile
Per $lambda=K\ne3,2$ la molteciplità algebrica di k è 2, quindi trovi:
$A-KI$ e ti trovi la dimensione dell'autospazio $V_(k)$, se è 2, coincide con la molteciplità algebrica di k allora è diagonalizzabile anche per k diverso da 3 e 2
Per $lambda=K=3$ hai il sistema ${(-x+z=0):}$ quindi hai $V(3)=(z,y,z,t)$ di dim =3, quindi diagonalizzabile
Per $lambda=K\ne3,2$ la molteciplità algebrica di k è 2, quindi trovi:
$A-KI$ e ti trovi la dimensione dell'autospazio $V_(k)$, se è 2, coincide con la molteciplità algebrica di k allora è diagonalizzabile anche per k diverso da 3 e 2
altro esercizio, solo per vedere se ho capito bene o contiunuo a sbagliare qualcosa
$A=((k,2,k),(0,0,-2),(0,0,2))$
Trovo che il polinomio caratteristico e' dato da $(2-\lambda)(k-\lambda)(-\lambda)$, eguagliato a zero trovo gli autovalori $\lambda=2,k,0$.. 0 e' da scartare in quanto per definizione un autovalore e' diverso da 0
Sostituendo nella matrice $A-\lambda I$ k=2 ( ed allo stesso modo $\lambda=2$) ottengo
$(A-2I)$=$((0,2,2),(0,-2,-2),(0,0,0))$ Ovvero un piano determinato dall'equazione z=y, dimensione 2, molteplicita' di 2 come autovalore e' 2, si ottiene che per k=2 la matrice e' diagonalizzabile.
Giusto?
$A=((k,2,k),(0,0,-2),(0,0,2))$
Trovo che il polinomio caratteristico e' dato da $(2-\lambda)(k-\lambda)(-\lambda)$, eguagliato a zero trovo gli autovalori $\lambda=2,k,0$.. 0 e' da scartare in quanto per definizione un autovalore e' diverso da 0
Sostituendo nella matrice $A-\lambda I$ k=2 ( ed allo stesso modo $\lambda=2$) ottengo
$(A-2I)$=$((0,2,2),(0,-2,-2),(0,0,0))$ Ovvero un piano determinato dall'equazione z=y, dimensione 2, molteplicita' di 2 come autovalore e' 2, si ottiene che per k=2 la matrice e' diagonalizzabile.
Giusto?
Peché scarti $0$ scusa? 
e' stato un mio errore stupido.. Pensavo che visto che il vettore nullo non e' considerato autovettore anche lo 0 fosse un autovalore scartabile
Gli autovalori sono:
$lambda_1=0$
$lambda_2=2$
$lambda_3=k$
Se $k=0 -> lambda=0$ è doppio. $dimV_0=1$ Quindi non è diagonalizzabile.
Se $k=2, lambda=2$ è doppio. $dimV_2=2$. Quindi è diagonalizzabile.
$lambda_1=0$
$lambda_2=2$
$lambda_3=k$
Se $k=0 -> lambda=0$ è doppio. $dimV_0=1$ Quindi non è diagonalizzabile.
Se $k=2, lambda=2$ è doppio. $dimV_2=2$. Quindi è diagonalizzabile.
Visto che continuo ad essere insicuro cerco conferma sull'ennesima matrice...
$A=((k,0,0),(k+1,k-1,0),(k,k,-1))$
Gli autovalori risultanti sono $\lambda=k,(k-1),-1$
Pongo $k=-1$ ottenendo una retta data dall'intersezione dei piani $\pi_1 :-y=0$ e $\pi_2 : -x-y-2z=0$. Dimensione dell'autospazio 1, molteplicita' di -1 e' 2 quindi non diagonalizzabile
Pongo k=0 e ottengo di nuovo una molteplicita' di 2 per -1 da cui ricavo l'equazione del piano $\pi_3 : x=0$, dimensione 2 uguale alla molteplicita' quindi diagonalizzabile
$A=((k,0,0),(k+1,k-1,0),(k,k,-1))$
Gli autovalori risultanti sono $\lambda=k,(k-1),-1$
Pongo $k=-1$ ottenendo una retta data dall'intersezione dei piani $\pi_1 :-y=0$ e $\pi_2 : -x-y-2z=0$. Dimensione dell'autospazio 1, molteplicita' di -1 e' 2 quindi non diagonalizzabile
Pongo k=0 e ottengo di nuovo una molteplicita' di 2 per -1 da cui ricavo l'equazione del piano $\pi_3 : x=0$, dimensione 2 uguale alla molteplicita' quindi diagonalizzabile
Quindi è diagonalizzabile se e solo se $a!=-1$. Esatto.
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