Discutere diagobilitànalizza

[lilengels]

salve stavo facendo un esercizio. data questa matrice : $((2,0,0),(1,2,1),(0,2,3))$ devo determinare autovalori e discutere la sua diagonalizzabilità.
io ho trovato 3 autovalori $2,4,1$ tutti di molteplicità 1.
cosa devo fare ora per discuterne la daigonalizzabilità? mi basta che i 3 autovalori abbiamo molteplicità 1 ?? come faccio a calcolare gli autospazi relativi agli autovalori?
inoltre, come faccio a calcolare la matrice P tale che $P^(-1)AP$ è una matrice diaonale?
grazie

[Cancer_309]

Se $\A$ è la tua matrice, i suoi autovalori sono le radici del polinomio caratteristico $\p(\lambda) = det(A - \lambda\I)$. Gli autovettori relativi ai tuoi autovalori sono quei vettori che sono una base per il $\ker(B\_\lambda)$ dove $\B\_\lambda = A - \lambda\I$. La matrice $\P$ è quella matrice che ha per colonne gli autovettori

[lilengels]

se mi chiedesse di discutere la diagonalizzabilità di una matrice (o di una applicazione lineare) in R e in C che differenze ci sarebbero?
grazie

[Cancer_309]

Se la vuoi diagonalizzabile in $\RR$ devi avere tutti autovalori reali, se la vuoi diagonalizzabile in $\CC$ vanno bene sia reali che complessi

[xnix]

qualsiasi matrice è diagonalizzabile sul corpo dei complessi, a differenza di quelle sui reali che hanno come autovalori numeri reali

[lilengels]

ho solo un altro dubbio: perchè per cercare gli autovettori devo cercare il kernel della matrice $A -Ia$ ??
grazie

[xnix]

si per cercare gli autovettori devi cercarli in $Ia-A$ con $a$ relativo autovalore.. si è come se cercassi gli autovettori nel $ker$ dell'applicazione

[xnix]

cmq se vuoi essere sicuro di aver fatto bene il tuoi autovalori sono $(0,1,2);(-2,-1,2);(0,-1,1)$ i quali per il teorema spettrale euclideo formano una base ortogonale!

[lilengels]

"xnix":si per cercare gli autovettori devi cercarli in $Ia-A$ con $a$ relativo autovalore.. si è come se cercassi gli autovettori nel $ker$ dell'applicazione

non mi è chiaro il perchè equivale a cercarli nel Kernel

[Cancer_309]

bhe, il Ker di una matrice $\A$ è formato da quei vettori $\v$ tali per cui $\Av=0$, nella ricerca degli autovettori di una certa matrice $\B$ tu vai a cercare quei vettori $\v$ tali per cui $\(B - \lambda I) v= 0$... ovvero per definizione di ker, stai cercando i vettori del ker di $\(B - \lambda I)$

[xnix]

prima di tutto tu cosa intendi per "kernel" ? poi voglio correggermi e dirti che gli autovettori trovati formano una base ortogonale se l'applicazione o la matrice è simmetrica! inoltre dire che: "e come se li trovassi nel ker dell'applicazione" è perché la matrice $Ia-A$ moltiplicata per il vettore incognita ti da 3 equazioni, in questo caso, che le poni uguali a zero