Discussione sistema lineare al variare del parametro K
Salve!
sono al primo anno fuori corso della facoltà di architettura e devo ancora sostenere il primo esame di matematica 1... quindi vi chiedo la massima semplicità nelle risposte.
Dunque.. uno dei primi esercizi che troverò all'esame sarà la discussione di un sistema di equazioni (da 3 a 4 equazioni, solitamente) al variare del parametro, che in questo caso chiamerò K.
Vi chiedo dunque, siccome nelle dispense del prof questo aspetto è molto tralasciato, se potete descrivermi un procedimento valido, passo passo, che mi permetta di imparare a discutere questo sistema.
Vi posto un esempio in modo che possa servire come riferimento:
NB: le seguenti equazioni sono a sistema, solo che non so come disegnare una graffa che le racchiuda tutte...
Kx + 2y + z + 2t = 1
2x + y + Kz - t = 5
3y + Kz + 5t = -3
Kx + 5y + 2z + 7t = 0
Grazie a tutti!
sono al primo anno fuori corso della facoltà di architettura e devo ancora sostenere il primo esame di matematica 1... quindi vi chiedo la massima semplicità nelle risposte.
Dunque.. uno dei primi esercizi che troverò all'esame sarà la discussione di un sistema di equazioni (da 3 a 4 equazioni, solitamente) al variare del parametro, che in questo caso chiamerò K.
Vi chiedo dunque, siccome nelle dispense del prof questo aspetto è molto tralasciato, se potete descrivermi un procedimento valido, passo passo, che mi permetta di imparare a discutere questo sistema.
Vi posto un esempio in modo che possa servire come riferimento:
NB: le seguenti equazioni sono a sistema, solo che non so come disegnare una graffa che le racchiuda tutte...
Kx + 2y + z + 2t = 1
2x + y + Kz - t = 5
3y + Kz + 5t = -3
Kx + 5y + 2z + 7t = 0
Grazie a tutti!
Risposte
${(kx + 2y + z + 2t = 1),(2x + y + kz - t = 5),(3y + kz + 5t = -3),(kx + 5y + 2z + 7t = 0) :}$ Questo è il nostro sistema
La matrice incompleta è $A=((k,2,1,2),(2,1,k,-1),(0,3,k,5),(k,5,2,7))$, quella completa è $bar(A)=((k,2,1,2,1),(2,1,k,-1,5),(0,3,k,5,-3),(k,5,2,7,0))$
Come certamente saprai, il sistema ammette soluzioni se e solo se $rg(A)=rg(bar(A))$ (rg sta per rango).
Poichè abbiamo questo parametro $k in RR$, sicuramente il rango di $A$ e il rango di $bar(A)$ dipenderanno da $k$
Riesci a trovare $rg(A)$ in funzione di $k$? E $rg(barA)$?
La matrice incompleta è $A=((k,2,1,2),(2,1,k,-1),(0,3,k,5),(k,5,2,7))$, quella completa è $bar(A)=((k,2,1,2,1),(2,1,k,-1,5),(0,3,k,5,-3),(k,5,2,7,0))$
Come certamente saprai, il sistema ammette soluzioni se e solo se $rg(A)=rg(bar(A))$ (rg sta per rango).
Poichè abbiamo questo parametro $k in RR$, sicuramente il rango di $A$ e il rango di $bar(A)$ dipenderanno da $k$
Riesci a trovare $rg(A)$ in funzione di $k$? E $rg(barA)$?
"Gi8":
Come certamente saprai, il sistema ammette soluzioni se e solo se $rg(A)=rg(bar(A))$ (rg sta per rango).
Poichè abbiamo questo parametro $k in RR$, sicuramente il rango di $A$ e il rango di $bar(A)$ dipenderanno da $k$
Riesci a trovare $rg(A)$ in funzione di $k$? E $rg(barA)$?
riguardo al fatto che il rango della matrice completa deve esser uguale alla matrice incompleta per ammettere soluzioni lo so...quindi la prima cosa da fare è vedere se il rango corrisponde... bene!
il problema è però la presenza del K che sinceramente negli appunti non è spiegato come va discusso...
Facciamo così: prova a calcolare il determinante di $A$
"Gi8":
Facciamo così: prova a calcolare il determinante di $A$
se calcolo il determinante di $A$, in generale, mi ritrovo con il valore di +/-K e poi?
Non ho ben capito cosa intendi con
In ogni caso, $det(A)$ sarà una espressione letterale che conterrà certamente anche $k$. Era questo che volevi sapere?
Io ho fatto i conti, mi viene $det(A)=8*(k-1)^2$. A te?
"l0r3nzo":
+/-K
In ogni caso, $det(A)$ sarà una espressione letterale che conterrà certamente anche $k$. Era questo che volevi sapere?
Io ho fatto i conti, mi viene $det(A)=8*(k-1)^2$. A te?
"Gi8":
Non ho ben capito cosa intendi con[quote="l0r3nzo"]+/-K
In ogni caso, $det(A)$ sarà una espressione letterale che conterrà certamente anche $k$. Era questo che volevi sapere?
Io ho fatto i conti, mi viene $det(A)=8*(k-1)^2$. A te?[/quote]
no quello che volevo sapere era un procedimento lineare da poter seguire per ogni sistema che presenti uno studio di K...
Più o meno il procedimento è il seguente:
- Bisogna capire qual è il rango della matrice incompleta al variare di $k in RR$ (nell'esempio sopra, se $k!=1$ si ha $rg(A)=4$; se $k=1$ si ha $rg(A)=2$)
- Bisogna capire qual è il rango della matrice completa al variare di $k in RR$
- Si fanno le solite considerazioni
- Bisogna capire qual è il rango della matrice incompleta al variare di $k in RR$ (nell'esempio sopra, se $k!=1$ si ha $rg(A)=4$; se $k=1$ si ha $rg(A)=2$)
- Bisogna capire qual è il rango della matrice completa al variare di $k in RR$
- Si fanno le solite considerazioni
"Gi8":
Più o meno il procedimento è il seguente:
- Bisogna capire qual è il rango della matrice incompleta al variare di $k in RR$ (nell'esempio sopra, se $k!=1$ si ha $rg(A)=4$; se $k=1$ si ha $rg(A)=2$)
- Bisogna capire qual è il rango della matrice completa al variare di $k in RR$
- Si fanno le solite considerazioni
Quindi, una volta trovato il rango della matrice completa e della incompleta io devo studiare il sistema con la soluzione che ammette soluzioni, ovvero quando i due ranghi corrispondono?
"l0r3nzo":
Quindi, una volta trovato il rango della matrice completa e della incompleta io devo studiare il sistema con la soluzione che ammette soluzioni, ovvero quando i due ranghi corrispondono?
Sì, ma non solo. Più che altro devi fare la cosiddetta "discussione":
Dire cioè per quali $k$ il sistema non ammette soluzioni, dire per quali $k$ il sistema ammette una e una sola soluzione (e trovarla, la soluzione),
dire per quali $k$ il sistema ammette infinite soluzioni (e trovarle). Ok?
"Gi8":
[quote="l0r3nzo"]Quindi, una volta trovato il rango della matrice completa e della incompleta io devo studiare il sistema con la soluzione che ammette soluzioni, ovvero quando i due ranghi corrispondono?
Sì, ma non solo. Più che altro devi fare la cosiddetta "discussione":
Dire cioè per quali $k$ il sistema non ammette soluzioni, dire per quali $k$ il sistema ammette una e una sola soluzione (e trovarla, la soluzione),
dire per quali $k$ il sistema ammette infinite soluzioni (e trovarle). Ok?[/quote]
ok.. ma... so che può sembrare banale... ma come si fa?
Nel nostro esempio, si fa così:
Abbiamo detto che la matrice incompleta è $A=((k,2,1,2),(2,1,k,-1),(0,3,k,5),(k,5,2,7))$, quella completa è $bar(A)=((k,2,1,2,1),(2,1,k,-1,5),(0,3,k,5,-3),(k,5,2,7,0))$
Abbiamo calcolato $det(A)=8(k-1)^2$
Quindi $k!=1 => det(A)!=0=> rg(A)=4$. Inoltre, anche $rg(barA)=4$ (lascio a te capire perchè)
Di conseguenza se $k!=1$ il sistema ammette soluzioni. Quante? Una e una sola, perchè il rango è massimo
Se $k=1$, invece, $detA=0$, quindi il rango di $A$ sarà minore di $4$. Vediamo nel detteglio quanto viene:
$A=((1,2,1,2),(2,1,1,-1),(0,3,1,5),(1,5,2,7))$ (ho sostituito $1$ al posto di $k$). Quanto è $rg(A)$?
Abbiamo detto che la matrice incompleta è $A=((k,2,1,2),(2,1,k,-1),(0,3,k,5),(k,5,2,7))$, quella completa è $bar(A)=((k,2,1,2,1),(2,1,k,-1,5),(0,3,k,5,-3),(k,5,2,7,0))$
Abbiamo calcolato $det(A)=8(k-1)^2$
Quindi $k!=1 => det(A)!=0=> rg(A)=4$. Inoltre, anche $rg(barA)=4$ (lascio a te capire perchè)
Di conseguenza se $k!=1$ il sistema ammette soluzioni. Quante? Una e una sola, perchè il rango è massimo
Se $k=1$, invece, $detA=0$, quindi il rango di $A$ sarà minore di $4$. Vediamo nel detteglio quanto viene:
$A=((1,2,1,2),(2,1,1,-1),(0,3,1,5),(1,5,2,7))$ (ho sostituito $1$ al posto di $k$). Quanto è $rg(A)$?
"Gi8":
Nel nostro esempio, si fa così:
Abbiamo detto che la matrice incompleta è $A=((k,2,1,2),(2,1,k,-1),(0,3,k,5),(k,5,2,7))$, quella completa è $bar(A)=((k,2,1,2,1),(2,1,k,-1,5),(0,3,k,5,-3),(k,5,2,7,0))$
Abbiamo calcolato $det(A)=8(k-1)^2$
Quindi $k!=1 => det(A)!=0=> rg(A)=4$. Inoltre, anche $rg(barA)=4$ (lascio a te capire perchè)
ovviamente essendo la matrice completa 4x5 ha come rango massimo 4, giusto?
"Gi8":
Di conseguenza se $k!=1$ il sistema ammette soluzioni. Quante? Una e una sola, perchè il rango è massimo
Se $k=1$, invece, $detA=0$, quindi il rango di $A$ sarà minore di $4$. Vediamo nel detteglio quanto viene:
$A=((1,2,1,2),(2,1,1,-1),(0,3,1,5),(1,5,2,7))$ (ho sostituito $1$ al posto di $k$). Quanto è $rg(A)$?
se ho fatto bene i calcoli il rango dovrebbe essere 2, poiché i minori di car 3 mi vengono tutti 0....
"l0r3nzo":Giusto
ovviamente essendo la matrice completa 4x5 ha come rango massimo 4, giusto?
"l0r3nzo":se ho fatto bene i calcoli il rango dovrebbe essere 2, poiché i minori di car 3 mi vengono tutti 0....[/quote]Molto bene. E $rg(barA)$?
[quote="Gi8"]$k=1$...Quanto è $rg(A)$?
"Gi8":
E $rg(barA)$?
il $rg(barA)$ è 4, quindi diverso dal rango della matrice incompleta e non ammette soluzioni...
A me viene $3$, non $4$. In ogni caso $rg(A)!=rg(barA)$, quindi, come hai detto tu, se $k=1$ il sistema non ammette soluzioni.
Ricapitolando:
$k!=1 => EE!$ soluzione.
$k=1 =>$ Non ci sono soluzioni.
Ricapitolando:
$k!=1 => EE!$ soluzione.
$k=1 =>$ Non ci sono soluzioni.
Oggi pomeriggio proverò a svolgere l'esercizio completo, e lo posterò e vediamo se ho capito tutto
comunque per ora grazie!
comunque per ora grazie!
Prego, figurati 
Ho svolto l'esercizio, ed ecco come l'ho impostato.
a) calcolo il determinante della matrice incompleta A e trovo che è, ovviamente, caratterizzato dal valore K.
Il valore K viene 1 e quindi studio le varie opzioni.
b) Quando $k!=1$ il determinante è $!=0$ quindi la caratteristica è 4. Essendo una matrice 4x5, ed essendo l'incompleta un minore della completa il rango della matrice completa è anch'esso 4, quindi il sistema, quando $k!=1$ ammette le soluzioni.
c) Quando $k=1$ il det della matrice $=0$ , di conseguenza il rango della matrice non può esser 4. Ricerco i minori e trovo che il rango della matrice è 2. A questo punto studio il rango della matrice incompleta e trovo che è 3 di conseguenza affermo che il sistema, quando $K=1$ non ammette alcuna soluzione.
Fin qui ho fatto bene?
A questo punto mi viene una sola domanda... ma per calcolare le soluzioni, considerando $K!=1$ , come devo fare?
a) calcolo il determinante della matrice incompleta A e trovo che è, ovviamente, caratterizzato dal valore K.
Il valore K viene 1 e quindi studio le varie opzioni.
b) Quando $k!=1$ il determinante è $!=0$ quindi la caratteristica è 4. Essendo una matrice 4x5, ed essendo l'incompleta un minore della completa il rango della matrice completa è anch'esso 4, quindi il sistema, quando $k!=1$ ammette le soluzioni.
c) Quando $k=1$ il det della matrice $=0$ , di conseguenza il rango della matrice non può esser 4. Ricerco i minori e trovo che il rango della matrice è 2. A questo punto studio il rango della matrice incompleta e trovo che è 3 di conseguenza affermo che il sistema, quando $K=1$ non ammette alcuna soluzione.
Fin qui ho fatto bene?
A questo punto mi viene una sola domanda... ma per calcolare le soluzioni, considerando $K!=1$ , come devo fare?
Nell'ultima riga, immagino che tu intenda $k!=1$
Per trovare le soluzioni, una possibile strada potrebbe essere sfruttare l'algoritmo di Cramer
Ad esempio, $x=det(A_x)/det(A)$ dove
$det(A)=8(k-1)^2$ (l'abbiamo già calcolato),
mentre $A_x$ è la matrice ottenuta sostituiendo la prima colonna di $A$ con il vettore dei termini noti: $A_x=((1,2,1,2),(5,1,k,-1),(-3,3,k,5),(0,5,2,7))$
PS: In ogni caso, quello che hai scritto è corretto
Per trovare le soluzioni, una possibile strada potrebbe essere sfruttare l'algoritmo di Cramer
Ad esempio, $x=det(A_x)/det(A)$ dove
$det(A)=8(k-1)^2$ (l'abbiamo già calcolato),
mentre $A_x$ è la matrice ottenuta sostituiendo la prima colonna di $A$ con il vettore dei termini noti: $A_x=((1,2,1,2),(5,1,k,-1),(-3,3,k,5),(0,5,2,7))$
PS: In ogni caso, quello che hai scritto è corretto
"Gi8":
Nell'ultima riga, immagino che tu intenda $k!=1$
Per trovare le soluzioni, una possibile strada potrebbe essere sfruttare l'algoritmo di Cramer
Ad esempio, $x=det(A_x)/det(A)$ dove
$det(A)=8(k-1)^2$ (l'abbiamo già calcolato),
mentre $A_x$ è la matrice ottenuta sostituiendo la prima colonna di $A$ con il vettore dei termini noti: $A_x=((1,2,1,2),(5,1,k,-1),(-3,3,k,5),(0,5,2,7))$
PS: In ogni caso, quello che hai scritto è corretto
Sì sì, errore mio ed ho subito corretto.
ok... con l'algoritmo di Cramer ci si impiega tantissimo tempo però ho capito...
Grazie mille per questi chiarimenti! per la prima volta dopo 6 anni, forse, ho capito come svolgere questo genere di problemi !!
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