Discussione di un sistema lineare
Devo discutere il seguente sistema lineare:
$\{(x + lambda*y = 1),(lambdax + 4y = -2),((lambda -1)x + 6y= -6):}$
dove lambda è un parametro.
Quindi...la matrice incompleta è:
$|(1,lambda),(lambda,4),((lambda-1),6)|$
che ha caratteristica = 2
e i determinanti delle sottomatrici $2x2$ estraibili sono tutti $!=0$
dunque si può usare Cramer.
Ma il risultato de libro è:
per $lambda != 1$ nessuna soluzione ; per $lambda = 1$ una sola soluzione.
Come se usasse Rouchè-Capelli, ma io non ne vedo il motivo...
Prima di scrivere centinaia di calcoli, vorrei sapere se sbaglio qualcosa nel mio ragionamento
$\{(x + lambda*y = 1),(lambdax + 4y = -2),((lambda -1)x + 6y= -6):}$
dove lambda è un parametro.
Quindi...la matrice incompleta è:
$|(1,lambda),(lambda,4),((lambda-1),6)|$
che ha caratteristica = 2
e i determinanti delle sottomatrici $2x2$ estraibili sono tutti $!=0$
dunque si può usare Cramer.
Ma il risultato de libro è:
per $lambda != 1$ nessuna soluzione ; per $lambda = 1$ una sola soluzione.
Come se usasse Rouchè-Capelli, ma io non ne vedo il motivo...
Prima di scrivere centinaia di calcoli, vorrei sapere se sbaglio qualcosa nel mio ragionamento
Risposte
"qwerty90":Sicuro sicuro...?
e i determinanti delle sottomatrici $2x2$ estraibili sono tutti $!=0$
$|(1,lambda),(lambda,4),((lambda-1),6)|$
$|(1,lambda),(lambda,4)| = 4 - lambda^2=0$ dunque $lambda= +-2$
$|(1,lambda),((lambda-1),6)| = 6 - lambda* (lambda-1) = 6 - lambda^2 +lambda= 0$ dunque $lambda = -2$, $lambda = 3$
$|(lambda,4),((lambda-1),6)| = 2lambda +4 = 0$ allora $lambda = -2$
E adesso? Sostituisco nella matrice completa?
$|(1,lambda),(lambda,4)| = 4 - lambda^2=0$ dunque $lambda= +-2$
$|(1,lambda),((lambda-1),6)| = 6 - lambda* (lambda-1) = 6 - lambda^2 +lambda= 0$ dunque $lambda = -2$, $lambda = 3$
$|(lambda,4),((lambda-1),6)| = 2lambda +4 = 0$ allora $lambda = -2$
E adesso? Sostituisco nella matrice completa?
No, aspetta. Non devi risolvere il sistema ma capire se ha soluzione e quante sono le soluzioni. Questo è proprio il mestiere del teorema di Rouché-Capelli, cosa c'entra Cramer con un sistema non quadrato? Volevo anche sottolineare che la tua affermazione
è falsa per alcuni valori di $lambda$.
ha caratteristica 2
è falsa per alcuni valori di $lambda$.
"dissonance":
No, aspetta. Non devi risolvere il sistema ma capire se ha soluzione e quante sono le soluzioni. Questo è proprio il mestiere del teorema di Rouché-Capelli, cosa c'entra Cramer con un sistema non quadrato? Volevo anche sottolineare che la tua affermazione
ha caratteristica 2
è falsa per alcuni valori di $lambda$.
Allora in altri esercizi simili ho fatto così (dagli esempi guida):
Determino il determinante della matrice incompleta in funzione di $lambda$ e lo pongo uguale a 0 per poi applicare Rouchè-Capelli.
Siccome la matrice incompleta in questo caso non è quadrata, allora ho determinato i determinanti delle sottomatrici $2x2$ estraibili dall'incompleta e li ho posti $=0$ per vedere appunto per quali $lambda$ succedeva ciò.
E' sbagliato?
No, è giusto. Adesso però procedi! 
La teoria la conosci? Sai che cosa hai fatto, calcolando quei determinantini 2x2? Se sì, non avrai dubbi sul prossimo passo da fare, che riguarda la matrice completa (si chiama così? Intendo quella in cui affianchi la colonna dei termini noti).
La teoria la conosci? Sai che cosa hai fatto, calcolando quei determinantini 2x2? Se sì, non avrai dubbi sul prossimo passo da fare, che riguarda la matrice completa (si chiama così? Intendo quella in cui affianchi la colonna dei termini noti).
"dissonance":
No, è giusto. Adesso però procedi!
Si però il mio dubbio stava che, mentre al libro risultava $lambda =1$ a me risultano 4 valori di $lambda$ e completamente diversi...
e non riesco a capire il perchè...dici che è un errore del libro?
Non credo. Credo invece che tu non abbia chiaro come si calcola il rango di una matrice. Non basta che si annulli un minore di ordine 2 per dire che la matrice dei coefficienti ha rango <2: si devono annullare tutti i minori di ordine 2.
"dissonance":
Non credo. Credo invece che tu non abbia chiaro come si calcola il rango di una matrice. Non basta che si annulli un minore di ordine 2 per dire che la matrice dei coefficienti ha rango <2: si devono annullare tutti i minori di ordine 2.
si questo lo so, ma non se ne annulla nemmeno uno infatti!
Hai ragione, non ti sto aiutando con sufficiente attenzione e spero di non averti confuso. Allora, come si fa questo esercizio: dobbiamo calcolare il rango della matrice incompleta e quello della matrice completa in funzione di $lambda$. I valori di $lambda$ per cui questi due ranghi coincidono sono quelli per cui il sistema è compatibile. Abbiamo visto che per $lambda!=-2$ il rango della matrice incompleta è 2, per $lambda=-2$ è 1. Adesso bisogna calcolare il rango della matrice completa, sempre in funzione di $lambda$: conviene usare il metodo dei minori orlati.
"dissonance":
Hai ragione, non ti sto aiutando con sufficiente attenzione e spero di non averti confuso. Allora, come si fa questo esercizio: dobbiamo calcolare il rango della matrice incompleta e quello della matrice completa in funzione di $lambda$. I valori di $lambda$ per cui questi due ranghi coincidono sono quelli per cui il sistema è compatibile. Abbiamo visto che per $lambda!=-2$ il rango della matrice incompleta è 2, per $lambda=-2$ è 1. Adesso bisogna calcolare il rango della matrice completa, sempre in funzione di $lambda$
ci sono
"dissonance":
conviene usare il metodo dei minori orlati.
Forse usiamo nomi diversi, ma a primo impatto non conosco questo metodo. In ogni caso ho capito il procedimento!
Grazie, molto gentile
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