Discussione di un sistema 2x3 con due parametri
Buongiorno a tutti, premetto che ho fatto una ricerca e non ho trovato niente di simile al mio caso, se per caso non ho cercato bene chiedo scusa in anticipo.
Dunque, volevo chiedervi se il ragionamento utilizzato da me per la risoluzione di questo esercizio è giusto:
Studiare al variare di a,b $in$ $RR$ il seguente sistema:
$\{(bx + 2y +b^2z=a),(x + by +(b-a)z=1):}$
Allora, ho ridotto utilizzando l'algoritmo di Gauss e ho ottenuto la seguente matrice:
$((1,b,b-a|1),(0,2-b^2,-ab|a-b))$
da qui ho ragionato in questo modo: b si annulla per i valori $sqrt(2)$ e $-sqrt(2)$, mentre a si annulla per i valori $0$ e $sqrt(2)$,
questo l'ho dedotto che nella seconda riga se voglio che l'elemento $a_{2,3}$ sia uguale a zero. Il prof mi ha spiegato che in questo modo controllo se tale elemento è un pivot (non ho capito bene cosa intendesse dire).
Stesso ragionamento per a.
Ora detto questo procedo con lo studio del sistema:
Per $b=sqrt(2)$ e $a=0,sqrt(2)$, $RkA=RkA|B=1$ quindi il sistema ammette $infty^2$ soluzioni.
Per $b=sqrt(2)$ e $a!=0,sqrt(2)$, $RkA=RkA|B=2$ quindi il sistema ammette $infty^1$ soluzioni.
Per $b=-sqrt(2)$ è lo stesso
Per $b!=+-sqrt(2)$ e $a=0,sqrt(2)$, $RkA=RkA|B=1$ quindi il sistema ammette $infty^2$ soluzioni
La seconda parte dell'esercizio mi chiede di risolvere per $b=sqrt(2)$ e $a!=0$
Sempre ragionando come sopra il valore per cui a si annulla è $sqrt(2)$, quindi per $a=sqrt(2)$ il sistema ammette $infty^2$ soluzioni
Determino le soluzioni del sistema:
$\{(x+sqrt(2)y=1-sqrt(2)+a),(0=a-sqrt(2)+asqrt(2)):}$
e ottengo le seguenti soluzioni, a meno di errori di calcolo e determinando dalla seconda equazione il valore di a:
$\{(x=-1-wsqrt(2)),(y=w),(z=t):}$
Spero sia tutto chiaro, sulla seconda parte non sono del tutto convinto.
Dunque, volevo chiedervi se il ragionamento utilizzato da me per la risoluzione di questo esercizio è giusto:
Studiare al variare di a,b $in$ $RR$ il seguente sistema:
$\{(bx + 2y +b^2z=a),(x + by +(b-a)z=1):}$
Allora, ho ridotto utilizzando l'algoritmo di Gauss e ho ottenuto la seguente matrice:
$((1,b,b-a|1),(0,2-b^2,-ab|a-b))$
da qui ho ragionato in questo modo: b si annulla per i valori $sqrt(2)$ e $-sqrt(2)$, mentre a si annulla per i valori $0$ e $sqrt(2)$,
questo l'ho dedotto che nella seconda riga se voglio che l'elemento $a_{2,3}$ sia uguale a zero. Il prof mi ha spiegato che in questo modo controllo se tale elemento è un pivot (non ho capito bene cosa intendesse dire).
Stesso ragionamento per a.
Ora detto questo procedo con lo studio del sistema:
Per $b=sqrt(2)$ e $a=0,sqrt(2)$, $RkA=RkA|B=1$ quindi il sistema ammette $infty^2$ soluzioni.
Per $b=sqrt(2)$ e $a!=0,sqrt(2)$, $RkA=RkA|B=2$ quindi il sistema ammette $infty^1$ soluzioni.
Per $b=-sqrt(2)$ è lo stesso
Per $b!=+-sqrt(2)$ e $a=0,sqrt(2)$, $RkA=RkA|B=1$ quindi il sistema ammette $infty^2$ soluzioni
La seconda parte dell'esercizio mi chiede di risolvere per $b=sqrt(2)$ e $a!=0$
Sempre ragionando come sopra il valore per cui a si annulla è $sqrt(2)$, quindi per $a=sqrt(2)$ il sistema ammette $infty^2$ soluzioni
Determino le soluzioni del sistema:
$\{(x+sqrt(2)y=1-sqrt(2)+a),(0=a-sqrt(2)+asqrt(2)):}$
e ottengo le seguenti soluzioni, a meno di errori di calcolo e determinando dalla seconda equazione il valore di a:
$\{(x=-1-wsqrt(2)),(y=w),(z=t):}$
Spero sia tutto chiaro, sulla seconda parte non sono del tutto convinto.
Risposte
Ciao Toti,
l'idea di base va bene ma ci sono un pò di imprecisioni dovute al fatto che non ti è ben chiaro il tutto. Provo a darti una mano, spero di riuscirci!
Innanzitutto sfruttando l'algoritmo di Gauss ottieni la matrice
$ ( ( 1 , b , b-a , | 1 ),( 0 , 2-b^2 , ab , | a-b ) ) $
Bisogna poi ragionare in termini di pivot; con tale termine si indica il primo elemento non nullo di una riga, ad esempio $a_11=1$.
Una conseguenza sfruttabile di tale definizione è rk(A)=numero pivot.
Ora, il tuo obiettivo non è annullare b ed a, ma valutare in base ai valori assunti da tali parametri come varia la matrice in esame e quindi la risolubilità del sistema.
$a_22$ risulta essere un pivot se e solo se è diverso da zero, cioè se $ b!=+-sqrt(2)$. In tal caso $rk(A)=rk(A|B)=2$
Se $b=+-sqrt(2) rArr rk(A)=2 hArr a_23!=0$. Quest'ultima condizione equivale a chiedere $ a!=0$
Se $b=+-sqrt(2) ^^ a=0 rArr rk(A)!=rk(A|B)$ in quanto $a_22=a_23=0$ mentre $a_24=+-sqrt(2)!=0$
E' importante capire che il valore critico per il parametro a è solamente lo zero. Il valore di a che annulla l'elemento $a_24=a-b$ non è rilevante ai fini dello studio della risolubilità del sistema.
Per il secondo punto del problema invece, sostituendo come da traccia si ha
$ ( ( 1 , sqrt(2) , sqrt(2)-a , |1 ),( 0 , 0 , asqrt(2) , |a-sqrt(2) ) ) $
Per $a!=0$ si ha $a_23=asqrt(2)!=0$. Questo implica che rk(A)=rk(A|B)=2. Si hanno $oo^1$ soluzioni.
Tutti gli altri valori di a sono accettabili e concorrono a determinare una delle infinite soluzioni.
Il sistema che ne viene fuori è:
$ { ( x+sqrt(2)y+(sqrt(2)-a)z=1),( asqrt(2)z=a-sqrt(2) ):} $
Da qui è facile trovare z e di conseguenza la soluzione.
Spero di aver espresso il tutto in maniera chiara.
l'idea di base va bene ma ci sono un pò di imprecisioni dovute al fatto che non ti è ben chiaro il tutto. Provo a darti una mano, spero di riuscirci!
Innanzitutto sfruttando l'algoritmo di Gauss ottieni la matrice
$ ( ( 1 , b , b-a , | 1 ),( 0 , 2-b^2 , ab , | a-b ) ) $
Bisogna poi ragionare in termini di pivot; con tale termine si indica il primo elemento non nullo di una riga, ad esempio $a_11=1$.
Una conseguenza sfruttabile di tale definizione è rk(A)=numero pivot.
Ora, il tuo obiettivo non è annullare b ed a, ma valutare in base ai valori assunti da tali parametri come varia la matrice in esame e quindi la risolubilità del sistema.
$a_22$ risulta essere un pivot se e solo se è diverso da zero, cioè se $ b!=+-sqrt(2)$. In tal caso $rk(A)=rk(A|B)=2$
Se $b=+-sqrt(2) rArr rk(A)=2 hArr a_23!=0$. Quest'ultima condizione equivale a chiedere $ a!=0$
Se $b=+-sqrt(2) ^^ a=0 rArr rk(A)!=rk(A|B)$ in quanto $a_22=a_23=0$ mentre $a_24=+-sqrt(2)!=0$
E' importante capire che il valore critico per il parametro a è solamente lo zero. Il valore di a che annulla l'elemento $a_24=a-b$ non è rilevante ai fini dello studio della risolubilità del sistema.
Per il secondo punto del problema invece, sostituendo come da traccia si ha
$ ( ( 1 , sqrt(2) , sqrt(2)-a , |1 ),( 0 , 0 , asqrt(2) , |a-sqrt(2) ) ) $
Per $a!=0$ si ha $a_23=asqrt(2)!=0$. Questo implica che rk(A)=rk(A|B)=2. Si hanno $oo^1$ soluzioni.
Tutti gli altri valori di a sono accettabili e concorrono a determinare una delle infinite soluzioni.
Il sistema che ne viene fuori è:
$ { ( x+sqrt(2)y+(sqrt(2)-a)z=1),( asqrt(2)z=a-sqrt(2) ):} $
Da qui è facile trovare z e di conseguenza la soluzione.
Spero di aver espresso il tutto in maniera chiara.
Grazie mille per il chiarimento. Quindi se non ho capito male: quando pongo uguale a zero $a_{2,2}$ mi dice per quale valore l'elemento è un pivot così da determinare il rango della matrice. Poi per $b!=+-sqrt(2)$ e qualsiasi valore di a $rkA=rkA|B$, per Rouché-Capelli il sistema e risolubile e ammette $infty^(n-rk)$ soluzioni.
Se $b=+-sqrt(2)$, $rkA=2$ se $a_{2,3}!=0$ , questa cosa ora mi sta sfuggendo, è valida perchè basta che un solo minore abbia determinante non nullo per avere rango, in questo caso, 2?
Mentre se $b=+-sqrt(2)$ e $a=0$ il sistema è incompatibile (avrei $rkA=1$ e $rkA|B=2$)
Ricapitolando, il sistema è compatibile per $b!=+-sqrt(2)$ e ammette $infty^1$ soluzioni.
Se $b=+-sqrt(2)$ e $a!=0$ ho ancora $infty^1$ soluzioni.
E nella seconda parte avevo dimenticato una z
Se $b=+-sqrt(2)$, $rkA=2$ se $a_{2,3}!=0$ , questa cosa ora mi sta sfuggendo, è valida perchè basta che un solo minore abbia determinante non nullo per avere rango, in questo caso, 2?
Mentre se $b=+-sqrt(2)$ e $a=0$ il sistema è incompatibile (avrei $rkA=1$ e $rkA|B=2$)
Ricapitolando, il sistema è compatibile per $b!=+-sqrt(2)$ e ammette $infty^1$ soluzioni.
Se $b=+-sqrt(2)$ e $a!=0$ ho ancora $infty^1$ soluzioni.
E nella seconda parte avevo dimenticato una z
"Toti":
Se $ b=+-sqrt(2) $, $ rkA=2 $ se $ a_{2,3}!=0 $ , questa cosa ora mi sta sfuggendo, è valida perchè basta che un solo minore abbia determinante non nullo per avere rango, in questo caso, 2?
Se $ b=+-sqrt(2) $, $ rkA=rk(A|B)=2 $ se $ a_{2,3}!=0 $
Per $ b=+-sqrt(2) $ si annulla l'elemento $a_22$. Questo vuol dire che l'elemento "candidato" a diventare pivot è $a_23$, perchè questo avvenga deve essere non nullo. Quindi ottieni $a!=0$ e $rk(A)=rk(A|B)=2$. Sistema compatibile con $oo^1$ soluzioni.
Potresti lavorare con i minori, sarebbe perfettamente equivalente anche se secondo me non conviene per la discussione della risolubilità in presenza di parametri. Basta ricordare che per avere rango 2 deve esistere almeno un minore di ordine 2 con determinante diverso da zero. Questo ragionamento va applicato sia alla matrice dei coefficienti che a quella completa.
Spero di aver chiarito tale punto.
"sigmalgebra":
Se $ b=+-sqrt(2) $, $ rkA=rk(A|B)=2 $ se $ a_{2,3}!=0 $
Per $ b=+-sqrt(2) $ si annulla l'elemento $a_22$. Questo vuol dire che l'elemento "candidato" a diventare pivot è $a_23$, perchè questo avvenga deve essere non nullo. Quindi ottieni $a!=0$ e $rk(A)=rk(A|B)=2$. Sistema compatibile con $oo^1$ soluzioni.
Si si questo lo avevo capito, volevo solo avere la certezza che basta che ci sia un minore non nullo per avere in questo caso rango due.
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