Discreta - deteminare parametro
Ho un problema con questo esercizio:
Determinare per quali valore di $\alpha$ il sistema ammette soluzioni:
$\{(x+2y+z+2w=1),(2x+alphay+2z+alphaw=2),(x+z=3):}$
Il problema è: creando la matrice dei coefficienti ottengo una 3x4, come devo comportarmi?? di solito mi ritrovo una 3x3 e da li faccio il determinante.
Non mi interessa lo svolgimento dell'esercizio ma solo come fare quando ho una matrice 3x4 al posto di 3x3.
Grazie
Buona domenica
Determinare per quali valore di $\alpha$ il sistema ammette soluzioni:
$\{(x+2y+z+2w=1),(2x+alphay+2z+alphaw=2),(x+z=3):}$
Il problema è: creando la matrice dei coefficienti ottengo una 3x4, come devo comportarmi?? di solito mi ritrovo una 3x3 e da li faccio il determinante.
Non mi interessa lo svolgimento dell'esercizio ma solo come fare quando ho una matrice 3x4 al posto di 3x3.
Grazie
Buona domenica
Risposte
Sarà anche una matrice 3x4, ma ha le colonne uguali a due a due, quindi le sottomatrici estraibili dalla incmpleta hanno tutte determinante nullo. Indicando con A la matrice incompleta e con C quella completa si ottiene:
$rg A=2$ qualunque sia $alpha$, infatti ci sono determinanti del secondo ordine che si annullano per $alpha=4$ e altri che si annullano per $alpha=0$
Per quanto riguarda la matrice completa $rg C= 3$ se $alpha !=4$ e $rg C= 2$ se $alpha=4$, basta considerare due colonne diverse sull'incompleta e la colonna dei termini noti.
Riassumendo, per il teorema di Rouché Capelli
Se $alpha=4$ si ha $2= rg A< rg C =3$ sistema impossibile, o incompatibile
Se $alpha !=4$ si ha $2= rg A= rg C < n$, dove n=numero delle incognite, sistema possibile indeterminato con $oo^(4-2)=oo^2$ soluzioni
$rg A=2$ qualunque sia $alpha$, infatti ci sono determinanti del secondo ordine che si annullano per $alpha=4$ e altri che si annullano per $alpha=0$
Per quanto riguarda la matrice completa $rg C= 3$ se $alpha !=4$ e $rg C= 2$ se $alpha=4$, basta considerare due colonne diverse sull'incompleta e la colonna dei termini noti.
Riassumendo, per il teorema di Rouché Capelli
Se $alpha=4$ si ha $2= rg A< rg C =3$ sistema impossibile, o incompatibile
Se $alpha !=4$ si ha $2= rg A= rg C < n$, dove n=numero delle incognite, sistema possibile indeterminato con $oo^(4-2)=oo^2$ soluzioni
Ti ringrazio moltissimo della tua risposta,ma a causa delle mie ampie lacune in materia mi sono un po perso...
Ma il mio primo problema è: non posso trovare il determinante (e quindi gli $alpha$) perche la matrice è 3x4, cosa devo fare??
Tu mi stai dicendo ke non potendo calcolare sulla 3x4, prendo una sottomatrice 3x3 e avendo colonne uguale due a due ho sempre determinante nullo??
Grazie mille
Ciao
"amelia":
Sarà anche una matrice 3x4, ma ha le colonne uguali a due a due, quindi le sottomatrici estraibili dalla incmpleta hanno tutte determinante nullo.
Indicando con A la matrice incompleta e con C quella completa si ottiene:
$rg A=2$ qualunque sia $alpha$, infatti ci sono determinanti del secondo ordine che si annullano per $alpha=4$ e altri che si annullano per $alpha=0$
Per quanto riguarda la matrice completa $rg C= 3$ se $alpha !=4$ e $rg C= 2$ se $alpha=4$, basta considerare due colonne diverse sull'incompleta e la colonna dei termini noti.
Ma il mio primo problema è: non posso trovare il determinante (e quindi gli $alpha$) perche la matrice è 3x4, cosa devo fare??
Tu mi stai dicendo ke non potendo calcolare sulla 3x4, prendo una sottomatrice 3x3 e avendo colonne uguale due a due ho sempre determinante nullo??
Grazie mille
Ciao
Ciao
Qualche giorno fa ho fatto l'esame di matematica discreta e mi è capitato proprio un esercizio come questo e non sono riuscito a farlo.. qualcuno sarebbe cosi gentile da spiegarmi meglio come posso risolverlo??
Grazie per l'aiuto
Qualche giorno fa ho fatto l'esame di matematica discreta e mi è capitato proprio un esercizio come questo e non sono riuscito a farlo.. qualcuno sarebbe cosi gentile da spiegarmi meglio come posso risolverlo??
Grazie per l'aiuto
Stase mi rileggo per bene l'intervento di Amelia..
Cmq non faccio ingegneria e percio nn ho l'esame di algebra lineare ma "solo" due esami di analisi e due di discreta.
Per uanto riguarda il mio problema con l'esercizio, alcuni miei compagni mi hanno detto ke se ho una matr 3x4 basta ke elimino una colonna "a caso" ottenendo una 3x3 e da li proseguo come so gia fare.. ma ha senso questa affermazione??
Cmq non faccio ingegneria e percio nn ho l'esame di algebra lineare ma "solo" due esami di analisi e due di discreta.
Per uanto riguarda il mio problema con l'esercizio, alcuni miei compagni mi hanno detto ke se ho una matr 3x4 basta ke elimino una colonna "a caso" ottenendo una 3x3 e da li proseguo come so gia fare.. ma ha senso questa affermazione??
Innazitutto ringrazio moltissimo sia Sergio e Amelia per l'aiuto (e il tempo) ke mi avete dato.
Dovrei aver capito lo svolgimento dell'esercizio (..finalmente..direte voi) ma ho ancora un piccolo dubbio, ho ttenuto i risultati uguali ad Amelia, ovvero:
ma se alcuni determinanti si annullano al variare di α (=4 e =0) perche dite ke ha sempre rgA=2 ??
Anzi..provo a rispondermi da solo: se α=4 i determinanti ke si annullano con zero sono diversi da zero, e se α=0 i determinanti ke si annullano con 4.. sono diversi da zero..ditemi che è cosi.. almeno vuol dire ke ho capito e ke sono riuscito a svolgere il tutto ...
ed infine, se mi chiede anche di trovare i risultati..faccio come se avessi una 3x3 vero?
Dovrei aver capito lo svolgimento dell'esercizio (..finalmente..direte voi) ma ho ancora un piccolo dubbio, ho ttenuto i risultati uguali ad Amelia, ovvero:
rgA=2 qualunque sia α, infatti ci sono determinanti del secondo ordine che si annullano per α=4 e altri che si annullano per α=0
ma se alcuni determinanti si annullano al variare di α (=4 e =0) perche dite ke ha sempre rgA=2 ??
Anzi..provo a rispondermi da solo: se α=4 i determinanti ke si annullano con zero sono diversi da zero, e se α=0 i determinanti ke si annullano con 4.. sono diversi da zero..ditemi che è cosi.. almeno vuol dire ke ho capito e ke sono riuscito a svolgere il tutto ...
ed infine, se mi chiede anche di trovare i risultati..faccio come se avessi una 3x3 vero?
Ho modificato l'ultimo messaggio.Scusate.
Buona notte
Buona notte
Sto eseguendo un nuovo esercizio sempre dello stesso genere:
$\{(2x + 2y + alpha w = 1),(2x - 2y - z = 2),(4x+w+alpha z = 7):}$
Inizio a calcolare il rango della matrice dei coefficienti percio cerco il determinante della sottomatrice composta dalle prime tre colonne e mi risulta diversa da zero per $alpha$ diverso da 1.
Se poi considero la sottomatrice composta dalla prima, seconda e questa colonna ottengo che il determinante è diverso da zero per $alpha$ diverso da -1.
Ora trovo il rango della matrice completa, prima calcolo il determinante sulla sottomatrice composta dalle prime 3 colonne(ha senso visto ke l'ho usata anche prima??) e ottengo sempre $alpha$ diverso da 1., poi cerco il determinante sulla sottomatrice composta da prima seconda e quinta colonne e ottengo -36, da cui la matrice completa ha sempre rango =3.
Risolvo il sistema per vedere come si comporta per $alpha$ diverso da 1 e diverso da -1, in quanto in questo caso ho R(A)=R(AB) e xcio per il Teorema di Rouche Capelli il sistema ammette soluzioni.
Per $alpha$ =1 trovo che R(A)=2 (calcolo il determinante sulla sottomatrice composta dalle prime tre colonnee da quella composta dalla prima seconda e quarta colonna) e R(AB) =3 (determinante diverso da zero nella sottomatrice composta dalla prima, seconda e quinta colonna) e xcio non ho soluzioni.
Per $alpha$ =-1 trovo che R(A)=2 (calcolo il determinante sulla sottomatrice composta dalle prime tre colonnee da quella composta dalla prima seconda e quarta colonna) e R(AB) =3 (determinante diverso da zero nella sottomatrice composta dalla prima, seconda e quinta colonna) e xcio non ho soluzioni nemmeno in questo caso.
Volevo sapere se l'esercizio era corretto (mi sembra strano che entrambi i casi non ho soluzioni) e se ho "usato correttamente il rango".
Grazie mille
$\{(2x + 2y + alpha w = 1),(2x - 2y - z = 2),(4x+w+alpha z = 7):}$
Inizio a calcolare il rango della matrice dei coefficienti percio cerco il determinante della sottomatrice composta dalle prime tre colonne e mi risulta diversa da zero per $alpha$ diverso da 1.
Se poi considero la sottomatrice composta dalla prima, seconda e questa colonna ottengo che il determinante è diverso da zero per $alpha$ diverso da -1.
Ora trovo il rango della matrice completa, prima calcolo il determinante sulla sottomatrice composta dalle prime 3 colonne(ha senso visto ke l'ho usata anche prima??) e ottengo sempre $alpha$ diverso da 1., poi cerco il determinante sulla sottomatrice composta da prima seconda e quinta colonne e ottengo -36, da cui la matrice completa ha sempre rango =3.
Risolvo il sistema per vedere come si comporta per $alpha$ diverso da 1 e diverso da -1, in quanto in questo caso ho R(A)=R(AB) e xcio per il Teorema di Rouche Capelli il sistema ammette soluzioni.
Per $alpha$ =1 trovo che R(A)=2 (calcolo il determinante sulla sottomatrice composta dalle prime tre colonnee da quella composta dalla prima seconda e quarta colonna) e R(AB) =3 (determinante diverso da zero nella sottomatrice composta dalla prima, seconda e quinta colonna) e xcio non ho soluzioni.
Per $alpha$ =-1 trovo che R(A)=2 (calcolo il determinante sulla sottomatrice composta dalle prime tre colonnee da quella composta dalla prima seconda e quarta colonna) e R(AB) =3 (determinante diverso da zero nella sottomatrice composta dalla prima, seconda e quinta colonna) e xcio non ho soluzioni nemmeno in questo caso.
Volevo sapere se l'esercizio era corretto (mi sembra strano che entrambi i casi non ho soluzioni) e se ho "usato correttamente il rango".
Grazie mille
Ho fatto i conti molto rapidamente.. comunque la matrice dei coeff ha sempre rango 3 , qualunque sia il valora di $alpha $
.Infatti se $alpha = 1 $ rende nullo il det di una certa sottomatrice, allora consideri l'altra sottomatrice il cui det si annulla per $ alpha = -1 $ ; quindi esiste sempre una sottomatrice di ordine 3 il cui det sia $ne 0 $ ,$ AA alpha in RR $.
La matrice completa ha ovviamente sempre rango 3 anche lei e quindi per il Teorema di Rouchè-Capelli il sistema ha sempre soluzione.
Quante ? $ oo^(4-3) = oo^1 $.
Quali ? bisogna fare qualche conto e distinguere i casi $ alpa = 1 , alpha = -1 $ etc in modo da ridursi a un sistema equivalente 3x3 con determinante dei coefficienti $ne 0 $ .
.Infatti se $alpha = 1 $ rende nullo il det di una certa sottomatrice, allora consideri l'altra sottomatrice il cui det si annulla per $ alpha = -1 $ ; quindi esiste sempre una sottomatrice di ordine 3 il cui det sia $ne 0 $ ,$ AA alpha in RR $.
La matrice completa ha ovviamente sempre rango 3 anche lei e quindi per il Teorema di Rouchè-Capelli il sistema ha sempre soluzione.
Quante ? $ oo^(4-3) = oo^1 $.
Quali ? bisogna fare qualche conto e distinguere i casi $ alpa = 1 , alpha = -1 $ etc in modo da ridursi a un sistema equivalente 3x3 con determinante dei coefficienti $ne 0 $ .
comunque la matrice dei coeff ha sempre rango 3 , qualunque sia il valora di α
.Infatti se α=1 rende nullo il det di una certa sottomatrice, allora consideri l'altra sottomatrice il cui det si annulla per α=-1 ; quindi esiste sempre una sottomatrice di ordine 3 il cui det sia ≠0 ,∀α∈ℝ.
E pensare che io ho scritto la stessa cosa qualche riga piu sopra e in questo es. ho sbagliato..ke stupido ke sono
bisogna fare qualche conto e distinguere i casi alpa=1,α=-1 etc in modo da ridursi a un sistema equivalente 3x3 con determinante dei coefficienti ≠0 .
uhm.. qui mi sono un po perso: se R(A) e R(AB) =3 ∀α∈ℝ perche poi devo distinguere i casi nella soluzione??
Per determinare le soluzioni non è sufficiente, in questo caso, eseguire il sistema con le equazioni iniziali trovando cosi sol. ke dipendono da una variabile (∞1 soluzioni) e dal parametro alpha, o meglio dagli esercizi ke ho sottomano ho capito cosi..
Perchè se ad esempio $ alpha = -1 $ devi considerare la sottomatrice $ ((2,2,alpha),(2,-2,0),(4,0,1))$ il cui determinante è $ne 0 $.
Il sistema originale è dunque equivalente a questo :
$2x+2y+alphaw = 1$
$2x-2y =2+z $
$ 4x + w = alpha z $
Questo sistema è quadrato 3x3 , con det $ne 0 $ , quindi ha una e una sola soluzione , determinabile con regola di Cramer ad esempio ; nei termini noti abbiamo però un parametro $z $ ed ecco che le soluzioni del sistema sono $ oo^1 $ .
Se invece consideri il caso $ alpha = 1 $ allora devi considerare la sottomatrice $((2,2,0),(2,-2,-1),(4,0,alpha))$ il cui determinante è $ ne 0 $.
Di conseguenza devi risolvere il sistema
$ 2x+2y = 1-alphaw$
$2x-2y-z = 2 $
$4x +alpha z = 7-w $
e valgono poi considerazioni analoghe a quelle di prima
Infine se $alpha ne 1 , ne -1 $ allora puoi scegliere come incognite quelle che vuoi tu in quanto la matrice dei coefficienti relativa avrà sempre det $ne 0 $ ; naturalmente la quarta incognita dovrai spostarla nella colonna termini noti e trattarla come un parametro.
S.E.O.
Il sistema originale è dunque equivalente a questo :
$2x+2y+alphaw = 1$
$2x-2y =2+z $
$ 4x + w = alpha z $
Questo sistema è quadrato 3x3 , con det $ne 0 $ , quindi ha una e una sola soluzione , determinabile con regola di Cramer ad esempio ; nei termini noti abbiamo però un parametro $z $ ed ecco che le soluzioni del sistema sono $ oo^1 $ .
Se invece consideri il caso $ alpha = 1 $ allora devi considerare la sottomatrice $((2,2,0),(2,-2,-1),(4,0,alpha))$ il cui determinante è $ ne 0 $.
Di conseguenza devi risolvere il sistema
$ 2x+2y = 1-alphaw$
$2x-2y-z = 2 $
$4x +alpha z = 7-w $
e valgono poi considerazioni analoghe a quelle di prima
Infine se $alpha ne 1 , ne -1 $ allora puoi scegliere come incognite quelle che vuoi tu in quanto la matrice dei coefficienti relativa avrà sempre det $ne 0 $ ; naturalmente la quarta incognita dovrai spostarla nella colonna termini noti e trattarla come un parametro.
S.E.O.
uhm.. ok ho capito!!!
L' esercitatore xò risolve in tutti i casi il sistema originario x sostituzione:
se α≠1,≠-1 allora arò un parametro e l'alpha nella soluzione,
se α=-1 , 1 risolve sempre il sistema ma al posto di alpha ci saranno i relativi valori, è giusto in entrambi i modi vero?? (senza contare la complessita dei calcoli)
L' esercitatore xò risolve in tutti i casi il sistema originario x sostituzione:
se α≠1,≠-1 allora arò un parametro e l'alpha nella soluzione,
se α=-1 , 1 risolve sempre il sistema ma al posto di alpha ci saranno i relativi valori, è giusto in entrambi i modi vero?? (senza contare la complessita dei calcoli)
Risolve per sostituzione , come ad esempio ? Metti l'inizio non certo tutti i calcoli...
Ciao
ti allego direttamente la scansione di una parte di un altro esercizio fatto a lezione in cui esegue i sistemi (in questo modo ti ho postato anke i calcoli):
Grazie per l'aiuto ke mi state dando..
ti allego direttamente la scansione di una parte di un altro esercizio fatto a lezione in cui esegue i sistemi (in questo modo ti ho postato anke i calcoli):
Grazie per l'aiuto ke mi state dando..
Scusate ho modificato l'ultimo messaggio
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