Disco chiuso come varietà
Ciao a tutti... non riesco a trovare l'errore nel mio ragionamento!
Una varietà compatta e senza bordo si dice chiusa.
Consideriamo il disco chiuso $ bar(mathbb(D))^2 $: è una varietà con bordo (il suo bordo è $ S^1 $), e dunque (dato che ha il bordo) non possiamo definirla chiusa.
Dunque il disco chiuso non è chiuso (come varietà)?! Mi sembra assurdo
Grazie a chi vorrà aiutarmi!
Una varietà compatta e senza bordo si dice chiusa.
Consideriamo il disco chiuso $ bar(mathbb(D))^2 $: è una varietà con bordo (il suo bordo è $ S^1 $), e dunque (dato che ha il bordo) non possiamo definirla chiusa.
Dunque il disco chiuso non è chiuso (come varietà)?! Mi sembra assurdo
Grazie a chi vorrà aiutarmi!
Risposte
Ciao,
provo a risponderti, poi magari vediamo anche il parere di altri, perchè sembra una cosa banale, ma sinceramente non ci avevo mai pensato..
Possiamo dire che una superficie regolare $\sumsubRR^3$ è chiusa se è limitata e se non ha il bordo ($\partial\sum=0$), definendo il bordo come $\partial\sum=nnn_{\sigma}\partial\sumsigma$, (con $\sumsigma$ si intende il bordo relativo alla parametrizzazione $\sigma$).
Potremmo ora pensare al disco chiuso come ad un emisfero (ad esempio quello superiore) di una sfera e se usassimo una parametrizzazione tale che, l'emisfero in questione, venisse costruito partendo da una semicirconferenza (ad esempio appartenente al piano $xz$) e poi facessimo ruotare il sistema di riferimento, otterremmo infinite parametrizzazioni, ognuna delle quali avrebbe come bordo una semicirconferenza che unisce tra loro i punti dell'equatore, in questo modo sarebbe semplice visualizzare il fatto che l'intersezione di tali bordi sia vuota ($\partial\sum=0$), da questo si deduce che il disco chiuso è una varietà chiusa.
provo a risponderti, poi magari vediamo anche il parere di altri, perchè sembra una cosa banale, ma sinceramente non ci avevo mai pensato..
Possiamo dire che una superficie regolare $\sumsubRR^3$ è chiusa se è limitata e se non ha il bordo ($\partial\sum=0$), definendo il bordo come $\partial\sum=nnn_{\sigma}\partial\sumsigma$, (con $\sumsigma$ si intende il bordo relativo alla parametrizzazione $\sigma$).
Potremmo ora pensare al disco chiuso come ad un emisfero (ad esempio quello superiore) di una sfera e se usassimo una parametrizzazione tale che, l'emisfero in questione, venisse costruito partendo da una semicirconferenza (ad esempio appartenente al piano $xz$) e poi facessimo ruotare il sistema di riferimento, otterremmo infinite parametrizzazioni, ognuna delle quali avrebbe come bordo una semicirconferenza che unisce tra loro i punti dell'equatore, in questo modo sarebbe semplice visualizzare il fatto che l'intersezione di tali bordi sia vuota ($\partial\sum=0$), da questo si deduce che il disco chiuso è una varietà chiusa.
Grazie della risposta,
credevo ci fosse un errore evidente nel mio ragionamento, non pensavo di scomodare una dimostrazione rigorosa... in ogni caso la dimostrazione è chiara!
Resta il dubbio sulla mia "contro-dimostrazione"
grazie ancora!
credevo ci fosse un errore evidente nel mio ragionamento, non pensavo di scomodare una dimostrazione rigorosa... in ogni caso la dimostrazione è chiara!
Resta il dubbio sulla mia "contro-dimostrazione"
grazie ancora!
No scusa, ora che ci penso ho confuso... in realta' i bordi si intersecano proprio con l'equatore (che è il bordo lungo il quale viene tagliata la sfera), quindi la semisfera è senz'altro chiusa dal punto di vista topologico (contiene la sua frontiera), ma è una 2-varietà aperta!
Sentiamo anche il parare di altri....
Sentiamo anche il parare di altri....
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