Direzioni principali di una superficie

[ImpaButty]

Data la superficie S parametrizzata da
$X(x; y) = (x; y; x^2-2y^2)$
come faccio a determinare le direzioni principali di S in $(0; 0; 0)$?

Mi sembra di aver capito che bisogna utiliazzare la matrice associata al differenziale della mappa di Gauss perchè i suoi autovettori dovrebbero essere le direzioni principali che sto cercando,ma in pratica non riesco a farlo!

La matrice,l'ho calcolata, e se nn sbaglio dovrebbe essere $A=((-2,0),(0,4))$

Grazie per i suggerimenti!

[maurer]

Sì, dovrebbe essere corretto. Comunque, rifaccio un attimo i conti (anch'io sto studiando queste cose per la prima volta). Metto in spoiler quello che hai già fatto tu.

La parametrizzazione è [tex]\varphi(u,v) = (u,v,u^2-2v^2)[/tex], definita su tutto [tex]\mathbb R^2[/tex]. Ora si ha
[tex]\varphi_u(u,v) = (1,0,2u)[/tex], [tex]\varphi_{uu}(u,v) = (0,0,2)[/tex]
[tex]\varphi_v(u,v) = (0,1,-4v)[/tex], [tex]\varphi_{vv}(u,v) = (0,0,-4)[/tex]
e [tex]\varphi_{uv}(u,v) = \varphi_{vu}(u,v) = \mathbf{0}[/tex]. Pertanto l'applicazione di Gauss è [tex]\gamma(u,v) = \frac{1}{\sqrt{1 + 4u^2+ 16v^2}} (-2u,4v,1)[/tex]. Ora, noi siamo interessati a vedere questa applicazione come un operatore dello spazio tangente della superficie in se stesso. Sappiamo dalla teoria che [tex]\gamma_u(u,v)[/tex] e [tex]\gamma_v(u,v)[/tex] giacciono in [tex]T_{(u,v)}(S)[/tex], ma calcolare esplicitamente le coordinate rispetto alla base [tex](\varphi_u(u,v),\varphi_v(u,v))[/tex] è una faticaccia. Pertanto, usando ancora un po' di teoria, ci ricordiamo che [tex]\gamma_{*(u,v)} = - L[/tex] dove [tex]L[/tex] è l'operatore forma. Ricordiamo anche, con molta gioia, che [tex]L[/tex] ha un'espressione matriciale semplice:
[tex]L = \left( \begin{matrix} \mathcal{L} & \mathcal{M} \\ \mathcal{M} & \mathcal{N} \end{matrix} \right)[/tex]
dove [tex]\mathcal{L} = \gamma(u,v) \cdot \varphi_{uu}[/tex] eccetera. Quindi, in conclusione
[tex]L(u,v) = \frac{1}{\sqrt{1+4u^2+16v^2}} \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & -4 \end{matrix} \right)[/tex]
Noi siamo interessati a [tex](u,v) = (0,0)[/tex], pertanto la matrice diventa quella che hai detto tu (a te viene cambiata di segno perché hai considerato proprio il differenziale della mappa di Gauss, io invece ho lavorato direttamente sull'operatore di Weingarten, cioè l'operatore forma).

Ora autovalori ed autovettori sono facili: [tex]2[/tex] è l'autovalore relativo a [tex]\langle (1,0) \rangle[/tex] e [tex]-4[/tex] è l'autovettore relativo a [tex]\langle (0,1) \rangle[/tex]. Pertanto, le curvature principali sono [tex]2[/tex] e [tex]-4[/tex], mentre le direzioni principali (bisogna ricordarsi che le coordinate ottenute sono espresse nella base [tex](\varphi_u(0,0),\varphi_v(0,0)[/tex] di [tex]T_{\mathbf{0}}(S)[/tex]) sono [tex]\langle (1,0,0) \rangle[/tex] e [tex]\langle (0,1,0) \rangle[/tex].

[ImpaButty]

ok,grazie mille!