Direzione comune delle rette r1 e r2

[pedra31]

Ciao a tutti,ho un problema nel trovarmi la direzione comune(se non erro è il punto improprio nel fascio di rette parallele) alle rette r1) x+y+z=1; y-z=0 ed r2 ) x+2y=0; x+y+z=1 ,ad occhio vedo che il piano comune fra qst rette è x+ y+z =0 ma la spiegazione geometrica di questa situazione non la saprei discutere ,come dovrei procedere?,ho pensato con la complanarità o con il fascio di piani ma non riesco a sviluppare qste idee per via algebrica ,qulacuno potrebbe aiutarmi ?

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Per vedere se due rette in $A_3(RR)$ sono parallele bisogna determinare una terna di parametri direttori $(l,m,n)$ per ciascuna retta. Se i parametri direttori delle rette sono proporzionali, allora le due rette sono parallele.

Nel tuo caso $r_1:\{( x+y+z=1),(y-z=0):}$ e $r_2:\{( x+2y=0),(x+y+z=1):}$.

Per determinare una terna di parametri direttori puoi calcolare i determinanti dei minori di ordine $2$, presi a segno alterno, delle seguenti matrici:

$r_1:$ $((1,1,1),(0,1,-1))$

$r_2:$ $((1,2,0),(1,1,1))$

Il fatto che ci sia un piano che li contiene entrambe non ci garantisce che le rette abbiano la stessa direzione.

Le rette $s_1:\{( x-y=0),(2x-z=1):}$ e $s_2:\{( x-y=0),(3x-z=2):}$, hanno un piano in comune eppure esse non hanno la stessa direzione.

[pedra31]

Grazie, ma il piano in comune come lo dovrei ricavare? io ero convinta che avevano la stessa direzione poichè il vettore di r e di s era proporzionale anzi uguale.. ma forse questo mi garantisce solo che le 2 rette sono parallele..?

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"Margot31":Grazie, ma il piano in comune come lo dovrei ricavare?

Due rette si dicono complanari se esiste un piano che li contiene. Due rette che hanno la stessa direzione sono complanari, però puo accadere che due rette abbiano direzione distinta e siano lo stesso complanari. Questi sono esattamente gli esempi postati da te e quello mio. Se vuoi determinare l'unico piano che contiene le due rette complanari, allora determini il fascio di piani per una delle due rette e imponi il passaggio di tale fascio per un punto a piacere dell'altra retta.

[pedra31]

Ok... con il fascio di piani nessun problema,volevo capire come ricavare il piano con la complanarità ... poi ero convinta che due rette complanari potessero essere o incidenti o parallele ,ma che quelle parallele fossero caratterizzate da una direzione comune.. delucidazioni a tal proposito?

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"Margot31":Ok... con il fascio di piani nessun problema,volevo capire come ricavare il piano con la complanarità ...

Un esercizio interessante sarebbbe determinare il piano che contiene le rette:

$r:\{(x+2y=5),(3y-z=5):}$ e $s:\{(x+y=3),(2y+z=5):}$

Osserva bene, questo piano che contiene due rette non esiste sempre. Esiste solo nel caso le rette siano complanari. Poi ci sono dei metodi per vedere se due rette sono complanari

poi ero convinta che due rette complanari potessero essere o incidenti o parallele

E pensi bene, infatti è cosi'.

ma che quelle parallele fossero caratterizzate da una direzione comune.. delucidazioni a tal proposito?

Ti sorprende che due rette parallele abbiano la stessa direzione? E come immagini due rette parallele...

[pedra31]

no ,non mi sorprende affatto , avevo inteso che tu affermassi il contrario ed ero perplessa...

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"Margot31":avevo inteso che tu affermassi il contrario ed ero perplessa...

Quale frase scritta da me è tale da far nascere la tua perplessità?

[pedra31]

"weblan":[quote="Margot31"]avevo inteso che tu affermassi il contrario ed ero perplessa...

Quale frase scritta da me è tale da far nascere la tua perplessità?[/quote]
"Il fatto che ci sia un piano che li contiene entrambe non ci garantisce che le rette abbiano la stessa direzione."
tu parlavi genericamente di complanarità(cn esempio di rette incidenti ) mentre io immersa nel mio esercizio avevo frainteso,e forse non mi sono espressa correttamente ma quando ti ho scritto che due rette parallele hanno la stessa direzione dato che non volevo dire che mi stranizzasse ciò ma che se c'era un motivo x cui non era così ne stavo venendo a conoscenza solo adesso...disguidi...scusami non volevo attaccarti ,ma bensì potrei solo ringraziarti!

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Non ti devi giustificare, la mia era solo una preocuppazione per aver detto qualcosa che ti portava fuori strada.