Dire se un endomorfismo è diagonalizzabile

[Maturando]

Ciao gente, ho un endomorfismo rappresentato dalla matrice:

$\((2,0,-1),(5,-3,-5),(0,0,1))$

Per trovare autovalori e autospazi più o meno ci sto, ma non so proprio come poter dire se questo è diagonalizzabile...ho visto qualche definizione ma mi sembrano un po' astratte, c'è qualche regola pratica?

Ciao e grazie.

[blackbishop13]

sì certo, mettere in pratica le deifinizioni astratte.

questo vuol dire fare matematica.

[ansioso]

se trovi autovalori distinti è diagonalizzabile...ovvero hai n=3 allora devi trovare 3 autovalori distinti... a livello pratico questa è la condizione...
oppure è la stessa cosa
Per ogni autovalore, la molteplicità algebrica di un autovalore è pari alla molteplicità geometrica dello stesso autovalore

[Maturando]

Ok grazie, quindi autovalori distinti implica diagonalizzabilità...Blackbishop hai ragione anche tu...ma quando ci si trova a un giorno dal compito e con svariati argomenti(anche diversissimi tra loro) da dover affrontare, purtroppo si cerca di fare il possibile per cercare di capire come risolvere un determinato esercizio, senza capire a fondo perché sia così...so benissimo che non è questo l'approcio giusto alla matematica, ma in funzione della situazione e del contesto, si cambiano gli approci diciamo...

Ciao e grazie.

[ansioso]

io ne ho uno il 20 mattina e sto inguaiato come te XD

[mistake89]

"ansioso":se trovi autovalori distinti è diagonalizzabile...ovvero hai n=3 allora devi trovare 3 autovalori distinti... a livello pratico questa è la condizione...
oppure è la stessa cosa
Per ogni autovalore, la molteplicità algebrica di un autovalore è pari alla molteplicità geometrica dello stesso autovalore

Beh ad essere precisi non è proprio la stessa cosa. Quando hai autovalori distinti ovviamente le due condizioni coincidono (osservando però che la molteplicità geometrica non può mai essere nulla, anzi è compresa tra $1$ e quella algebrica).
Mentre se hai più autovalori, di cui almeno uno doppio, direi che le cose non sono esattamente le stesse, ma va verificato appunto che le molteplicità coincidano.

Altra cosa da verificare è che il polinomio caratteristico si spezzi completamente sul campo $K$ considerato.

Se si verificano contemporaneamente dette condizioni, allora la matrice (o l'endomorfismo) è diagonalizzabile.

[Kiwi891]

"agomath":Ciao gente, ho un endomorfismo rappresentato dalla matrice:

$\((2,0,-1),(5,-3,-5),(0,0,1))$

Per trovare autovalori e autospazi più o meno ci sto, ma non so proprio come poter dire se questo è diagonalizzabile...ho visto qualche definizione ma mi sembrano un po' astratte, c'è qualche regola pratica?

Ciao e grazie.

1) A e' diagonalizzabile <=> ha tutti i suoi autovalori (nel campo) e per ogni autovalore la molteplicita' e la nullita' coincidono.
2) A e' diagonalizzabile <=> il polinomio minimo si fattorizza in fattori lineari distinti.