Dire se due sistemi lineari sono equivalenti
Salve, sono stato ancora bocciato all'esame con 15...
cmq. volevo kiedere per vedere se due sistemi lineari sono equivalenti cosa bisogna verificare??
Io per la vedere se
$\{(2x + 3y = 3),(x + y + z = 2),(y - 2z = 0):}$
$\{(x + 2y - z = 1),(x + 3z = 2):}$
sono equivalenti??
cmq. volevo kiedere per vedere se due sistemi lineari sono equivalenti cosa bisogna verificare??
Io per la vedere se
$\{(2x + 3y = 3),(x + y + z = 2),(y - 2z = 0):}$
$\{(x + 2y - z = 1),(x + 3z = 2):}$
sono equivalenti??
Risposte
due sistemi lineari si dicono equivalenti se e solo se hanno le stesse soluzioni.
se non ho sbagliato a fare i calcoli il primo sistema non ammette soluzioni, mentre il secondo sistema ammette infinite soluzioni: chiaramente in questo caso i due sistemi non sono equivalenti.
se non ho sbagliato a fare i calcoli il primo sistema non ammette soluzioni, mentre il secondo sistema ammette infinite soluzioni: chiaramente in questo caso i due sistemi non sono equivalenti.
grazie mille, quindi se cercavo di portare in forma a scala la matrice completa del sistema e vedevo che non aveva rango 2 potevo così finire l'esercizio e dire che non sono equivalenti??
per quanto riguarda il primo sistema ho applicato gauss-jordan e una delle equazioni viene $0=1$ che è impossibile.
per quanto riguarda il secondo sistema ho applicato rouchè-capelli; si vede che sia $A$ che $A|b$ hanno rango due e siccome le incognite sono tre, il sistema ammette infinite soluzioni.
per quanto riguarda il secondo sistema ho applicato rouchè-capelli; si vede che sia $A$ che $A|b$ hanno rango due e siccome le incognite sono tre, il sistema ammette infinite soluzioni.
Non possono essere equivalenti : dovrebbero avere le stesse soluzioni.
Invece il primo è un sistema di 3 equazioni in 3 incognite con determinante dei coefficienti $= 0 $; la matrice dei coefficienti ha rango 2 , mentre la matrice completa ha rango 3 e quindi per il Teorema di Rouchè-Capelii il sistema è impossibile .
Il secondo invece è un sistema di 2 equazioni in 3 incognite che ha $ oo^1 $ soluzioni .
Edit : corretto errore nel calcolo determinante
Invece il primo è un sistema di 3 equazioni in 3 incognite con determinante dei coefficienti $= 0 $; la matrice dei coefficienti ha rango 2 , mentre la matrice completa ha rango 3 e quindi per il Teorema di Rouchè-Capelii il sistema è impossibile .
Il secondo invece è un sistema di 2 equazioni in 3 incognite che ha $ oo^1 $ soluzioni .
Edit : corretto errore nel calcolo determinante
camillo a me il determinante relativo al primo sistema viene proprio zero... pertanto non si può applicare cramer.
"fctk":
camillo a me il determinante relativo al primo sistema viene proprio zero... pertanto non si può applicare cramer.
Hai ragione , ho sbagliato a trascrivere il determinante !!!
grazie mille ho risolto questo quesito grazie a voi!!!!
scusate, oggi sono assalita dai dubbi...
a parte i sistemi scritti in questo topic, mi è parso veder applicare il teorema di Rouché-Capelli senza eseguire alcun calcolo...
ma se abbiamo due equazioni incompatibili, anche se le incognite sono in numero maggiore rispetto alle equazioni, non si dice che il sistema è impossibile?
scusate l'incursione... ciao e grazie anticipatamente per l'attenzione.
a parte i sistemi scritti in questo topic, mi è parso veder applicare il teorema di Rouché-Capelli senza eseguire alcun calcolo...
ma se abbiamo due equazioni incompatibili, anche se le incognite sono in numero maggiore rispetto alle equazioni, non si dice che il sistema è impossibile?
scusate l'incursione... ciao e grazie anticipatamente per l'attenzione.
"adaBTTLS":
scusate, oggi sono assalita dai dubbi...
a parte i sistemi scritti in questo topic, mi è parso veder applicare il teorema di Rouché-Capelli senza eseguire alcun calcolo...
ma se abbiamo due equazioni incompatibili, anche se le incognite sono in numero maggiore rispetto alle equazioni, non si dice che il sistema è impossibile?
scusate l'incursione... ciao e grazie anticipatamente per l'attenzione.
I conti per determinare il rango della matrice dei coefficienti e della matrice completa li ho fatti separatamente senza indicarli : dato che risultano diversi si deduce subito che il primo sistema non ha soluzioni .
Certamente se due equazioni di un sistema sono incompatibili tra loro , rendono impossibile il sistema che le contenga : così ha fatto fctk , usando Gauss-Jordan .
Io invece, che non amo Gauss-Jordan, sono arrivato allo stesso risultato ( meno male...) usando il T. di Rouchè-Capelli che invece amo.
grazie, Camillo.
in realtà il dubbio è proprio sul contenuto del teorema:
se ho un sistema di due equazioni in più di due incognite, la matrice dei coefficienti non può avere rango 2 se il sistema è impossibile?
io ci ragionerò un po', poi magari vedrò anche altri casi. ciao.
in realtà il dubbio è proprio sul contenuto del teorema:
se ho un sistema di due equazioni in più di due incognite, la matrice dei coefficienti non può avere rango 2 se il sistema è impossibile?
io ci ragionerò un po', poi magari vedrò anche altri casi. ciao.
Vediamo
Ipotesi $ m=2 ; n> 2 $ sistema impossibile
Tesi $r(A) ne 2 $
Essendo il sistema impossibile per ipotesi, dovrebbe aversi $r(A) ne r(A|b)$ .Se $r(A) $ fosse 2 , $r(A|b ) $ dovrebbe essere $ > 2 $ il che non può essere (ci son solo 2 righe).Quindi $r(A)ne 2 $.
Ipotesi $ m=2 ; n> 2 $ sistema impossibile
Tesi $r(A) ne 2 $
Essendo il sistema impossibile per ipotesi, dovrebbe aversi $r(A) ne r(A|b)$ .Se $r(A) $ fosse 2 , $r(A|b ) $ dovrebbe essere $ > 2 $ il che non può essere (ci son solo 2 righe).Quindi $r(A)ne 2 $.
sì, infatti la mia domanda riguardava esattamente questo caso: avevo interpretato bene il teorema... ero solo meravigliata del fatto che non si potesse trovare un esempio, con un sufficiente numero di incognite, di un sistema impossibile con $r(A)=r(A|b)$... ma questo sarebbe stato in contrasto con il teorema di Rouché-Capelli, che sembrerebbe "acquisito"!
se invece il sistema è possibile, valendo l'uguaglianza $r(A)=r(A|b)$, con m equazioni in n>m incognite, il numero di soluzioni è sempre esprimibile come $oo^(n-m)$ o ci sono delle eccezioni?
ciao e grazie.
se invece il sistema è possibile, valendo l'uguaglianza $r(A)=r(A|b)$, con m equazioni in n>m incognite, il numero di soluzioni è sempre esprimibile come $oo^(n-m)$ o ci sono delle eccezioni?
ciao e grazie.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo