Dipendenza o indipendenza lineare

[Lory_91]

Salve a tutti! Mi apprestavo a svolgere il seguente esercizio: si consideri $CC$ come spazio vettoriale su $CC$ e come spazio vettoriale su $RR$: $2 + 3i$, $4 - 5i$ sono linearmente indipendenti o linearmente dipendenti su $RR$? E su $CC$?
Il mio primo problema è che non riesco a capire se sia un solo vettore oppure due. Io penso sia uno ma il "sono linearmente indipendenti o linearmente dipendenti" mi ha tratta in inganno.Qualcuno può farmi luce su questo? Grazie mille a tutti!

[Linux1987]

secondo me la risposta è questa: su R sono linearmente dipendendenti , semplicemente considerando che un numero complesso può essere visto come un punto del piano e quindi come un vettore di $ R^2 $ , quindi considerare su $ R$ significa considerare le parti reali del numero complesso, e di conseguenza 4 è un multiplo di 2 ,quindi i vettori su R sono linearmente dipendenti. Mentre se consideriamo i Vettori del campo complesso 2+3i e 4 -5i , essi sono linearmente indipendenti, basta inserirli in una matrice e calcolarne il rango. Poi non sò! Che ne pensi?

[miuemia]

mi domando: qual è la dimensione come spazio vettoriale di $CC$ su $CC$ e di $CC$ su $RR$?

[Linux1987]

spiegati meglioo. Non capisco il significato della tua domanda !! Che significa la dimensione di uno spazio su un'altro spazio?? la dimensione di uno spazio e il numero di vettori della base dello spazio!! Non capisco cosa vuoi sapere . Nel caso di C il numero di vettori è due, mentre per R è un numero, basta un solo numero per generare tutto R

[Seneca1]

@Pasqualinux: $CC$ è anche un campo. Quindi $CC$ si può interpretare come spazio vettoriale su $RR$ (e allora ha dimensione $2$) o si può vedere anche come spazio vettoriale su $CC$ (in questo caso ha dimensione $1$).

[Linux1987]

Seneca saresti cosi gentile da rispondere anche al mio topic!1 quello sui coefficienti lineari che non ti era chiaro. ho riformulato.. grazie

[xdom="Seneca"]Se nessuno risponderà entro 24h allora potrai fare un "up" (come da regolamento). Prima di allora non puoi sollecitare gli utenti a rispondere... A maggior ragione in un'altra discussione.[/xdom]

[Seneca1]

"Lory_91":Salve a tutti! Mi apprestavo a svolgere il seguente esercizio: si consideri $CC$ come spazio vettoriale su $CC$ e come spazio vettoriale su $RR$: $2 + 3i$, $4 - 5i$ sono linearmente indipendenti o linearmente dipendenti su $RR$? E su $CC$?
Il mio primo problema è che non riesco a capire se sia un solo vettore oppure due. Io penso sia uno ma il "sono linearmente indipendenti o linearmente dipendenti" mi ha tratta in inganno.Qualcuno può farmi luce su questo? Grazie mille a tutti!

Come ho scritto poco fa, $CC$ come $CC$-spazio vettoriale ha dimensione 1 e quindi, dato un vettore $v$ non nullo, ogni altro vettore $w \in CC$ è un multiplo di $v$.

Se vai a vedere $CC \sim RR^2$ come $RR$-spazio vettoriale, allora i tuoi vettori sono $(2, 3)$ e $(3, - 5)$.

$det((2,3),(3,-5)) = - 10 - 9 \ne 0$

quindi i due vettori sono linearmente indipendenti.

[Lory_91]

Perché i miei vettori sono $(2,3)$ e $(3,-5)$? Volevi forse dire $(2,3)$ e $(4,-5)$?Se si non ho capito perché non consideri la $i$ dei numeri immaginari..

[Linux1987]

sicuramente!! Seneca dai una mano anche a me?

[Seneca1]

"Lory_91":Perché i miei vettori sono $(2,3)$ e $(3,-5)$?

Certo, è come dici tu (chissà da che cilindro li ho tirati fuori).

$CC$ si può identificare con il piano $RR^2$, quindi gli elementi di $CC$ $x_1 + i x_2$ sono in corrispondenza biunivoca con i punti del piano $(x_1 , x_2)$, $x_1 , x_2 \in RR$.

[Lory_91]

Una volta chiarito questo dubbio, da ciò che hai scritto mi è sembrato che per essere linearmente indipendenti il determinante deve essere diverso da zero: giusto? Se è così, perché? Scusa le tante domande ma ho da poco iniziato ad affrontare questa materia e ho molti dubbi.