Dipendenza lineare vettori
Ciao a tutti! Vi porgo i seguenti problemi sulla dipendenza dei vettori visto che sto diventando pazzo per trovare la soluzione (premetto che sono alle prime armi con l'algebra lineare):
ESERCIZIO 1
Dati i vettori:
$x_1=[(-2),(1),(-3)]$ $x_2=[(0),(2),(1)]$ $x_3=[(4),(-2),(6)]$
a)si verifichi che sono linearmente dipendenti e si trovi una loro combinazione lineare a coefficienti non tutti nulli che dia il vettore nullo. In quanti modi si possono determinare i pesi di tale combinazione lineare?
(correggetemi se sbaglio, per verificare che siano linearmente dipendenti posso in questo caso applicare la regola di Sarrus essendo una matrice quadrata di ordine 3 o alternativamente il primo teorema di Laplace. Calcolando il determinante mi accorgo che è uguale a 0 e quindi sono linearmente dipendenti...e fin qui credo tutto bene. E' la seconda parte della domanda che non capisco, da "e si trovi una loro combinazione lineare" in poi)
b) Sia A la matrice che si ottiene accostando i tre vettori nell'ordine dato; si risolva il sistema Ax=0
ESERCIZIO 2
Si verifichi se i seguenti vettori sono linearmente dipendenti:
$a_1=[(1),(0),(-1),(2)]$ $a_2=[(0),(1),(0),(1)]$ $a_3=[(2),(2),(-2),(4)]$
(Per quest'ultimo devo calcolare il determinante e porlo = 0?! Come calcolo il determinante di una matrice 4x3?!)
Spero possiate darmi una mano, grazie in anticipo e un saluto a tutti!
ESERCIZIO 1
Dati i vettori:
$x_1=[(-2),(1),(-3)]$ $x_2=[(0),(2),(1)]$ $x_3=[(4),(-2),(6)]$
a)si verifichi che sono linearmente dipendenti e si trovi una loro combinazione lineare a coefficienti non tutti nulli che dia il vettore nullo. In quanti modi si possono determinare i pesi di tale combinazione lineare?
(correggetemi se sbaglio, per verificare che siano linearmente dipendenti posso in questo caso applicare la regola di Sarrus essendo una matrice quadrata di ordine 3 o alternativamente il primo teorema di Laplace. Calcolando il determinante mi accorgo che è uguale a 0 e quindi sono linearmente dipendenti...e fin qui credo tutto bene. E' la seconda parte della domanda che non capisco, da "e si trovi una loro combinazione lineare" in poi)
b) Sia A la matrice che si ottiene accostando i tre vettori nell'ordine dato; si risolva il sistema Ax=0
ESERCIZIO 2
Si verifichi se i seguenti vettori sono linearmente dipendenti:
$a_1=[(1),(0),(-1),(2)]$ $a_2=[(0),(1),(0),(1)]$ $a_3=[(2),(2),(-2),(4)]$
(Per quest'ultimo devo calcolare il determinante e porlo = 0?! Come calcolo il determinante di una matrice 4x3?!)
Spero possiate darmi una mano, grazie in anticipo e un saluto a tutti!
Risposte
Ciao,
per il primo punto,
tu stai cercando tre coefficienti $alpha, beta, gamma$ non tutti nulli per cui $alpha*x_1 + beta*x_2 + gamma * x_3 = 0$, quindi ti basta risolvere un sistema,
per il secondo punto,
non puoi calcolare il determinante di una matrice non quadrata, però puoi vedere se il rango della matrice che ha per righe i tre vettori è minore di tre
per il primo punto,
tu stai cercando tre coefficienti $alpha, beta, gamma$ non tutti nulli per cui $alpha*x_1 + beta*x_2 + gamma * x_3 = 0$, quindi ti basta risolvere un sistema,
per il secondo punto,
non puoi calcolare il determinante di una matrice non quadrata, però puoi vedere se il rango della matrice che ha per righe i tre vettori è minore di tre
per il punto a dell'esercizio 1 l'unico modo quindi è il sistema? alla domanda "in quanti modi si possono determinare i pesi di tale combinazione lineare?" rispondo "solo con il sistema"?
Per quanto riguarda l'esercizio 2 invece, che informazioni mi da il rango sulla dipendenza lineare?
Grazie!
Per quanto riguarda l'esercizio 2 invece, che informazioni mi da il rango sulla dipendenza lineare?
Grazie!
Non so se ho capito bene cosa intendi con "pesi",
se si credo non centri nulla con il sistema, prova a risolverlo e vedi cosa ottieni
per quanto riguarda il secondo esercizio,
non devi far altro che applicare lo stesso metodo usato per risolvere il primo,
infatti prima hai sfruttato il fatto che la matrice fosse quadrata
quindi ne hai calcolato il determinante per verificare che i vettori fossero linearmente dipendenti,
ma in una matrice quadrata il determinante è uguale a zero solo se il rango non è massimo,
in questo caso non puoi calcolare il determinante di una matrice $3x4$, perchè non è quadrata,
ma se il rango è minore di $3$ allora i tre vettori sono linearmente dipendenti
se si credo non centri nulla con il sistema, prova a risolverlo e vedi cosa ottieni
per quanto riguarda il secondo esercizio,
non devi far altro che applicare lo stesso metodo usato per risolvere il primo,
infatti prima hai sfruttato il fatto che la matrice fosse quadrata
quindi ne hai calcolato il determinante per verificare che i vettori fossero linearmente dipendenti,
ma in una matrice quadrata il determinante è uguale a zero solo se il rango non è massimo,
in questo caso non puoi calcolare il determinante di una matrice $3x4$, perchè non è quadrata,
ma se il rango è minore di $3$ allora i tre vettori sono linearmente dipendenti
Grazie mille!!! Ora ho capito il secondo esercizio!!!
Per quanto riguarda il primo esercizio (preso da un esame) il termine "pesi" intende proprio i coefficienti che mi dicevi prima.
Quindi credo che l'unico modo per determinarli è risolvere il sistema a tre equazioni in tre incognite.
mi sai dire invece nel punto b cosa devo fare?
b)Sia A la matrice che si ottiene accostando i tre vettori nell'ordine dato; si risolva il sistema Ax=0
Ma non è la stessa cosa del punto precedente?
Grazie per la pazienza!
Per quanto riguarda il primo esercizio (preso da un esame) il termine "pesi" intende proprio i coefficienti che mi dicevi prima.
Quindi credo che l'unico modo per determinarli è risolvere il sistema a tre equazioni in tre incognite.
mi sai dire invece nel punto b cosa devo fare?
b)Sia A la matrice che si ottiene accostando i tre vettori nell'ordine dato; si risolva il sistema Ax=0
Ma non è la stessa cosa del punto precedente?
Grazie per la pazienza!
ciao per il punto b devi semplicemente trovare il nucleo della matrice...e dopo una riduzione a scala la matrice $A$ è della forma:
$((-2,0,4),(0,4,0),(0,0,0))$ e quindi devi risolvere il sistema
$((-2,0,4),(0,4,0),(0,0,0))(x,y,z)=(0,0,0)$
e ottieni $-2x+4z=0 \; y=0$ e ottieni una retta come spazio delle soluzioni in quanto soltanto due dei tre vettori di partenza erano lin. indipendenti e la soluzione è data da $ \lambda(2,0,1)$
ciao e a presto
$((-2,0,4),(0,4,0),(0,0,0))$ e quindi devi risolvere il sistema
$((-2,0,4),(0,4,0),(0,0,0))(x,y,z)=(0,0,0)$
e ottieni $-2x+4z=0 \; y=0$ e ottieni una retta come spazio delle soluzioni in quanto soltanto due dei tre vettori di partenza erano lin. indipendenti e la soluzione è data da $ \lambda(2,0,1)$
ciao e a presto
Grazie!
Dovrei rispondere anche a queste due domande:
1)Sia A una matrice quadrata di ordine 4 e tale che il suo rango sia 4. Si dica se A ammette inversa e, in caso di risposta affermativa, si dica quanto vale il rango della sua inversa.
2)A è una matrice invertibile di ordine 4, sapendo che detA=-1 si calcoli $det(-A^-1)$
Per la prima ho provato a rispondere così ma non so se è corretta o no...
1) Una matrice quadrata A ammette inversa se e solo se il suo determinante è diverso da 0, ovvero quando le colonne (o le righe) di A risultano linearmente indipendenti.
Sapendo che una matrice ha al suo interno vettori colonna (riga) linearmente indipendenti x^1,..,x^k se e solo se il rango della matrice A è k, allora in questo caso la matrice A ammette inversa in quanto k=4 e il rango=4.
Non ho idea però di quanto valga il rango dell'inversa..
Mi sapete dire la vostra su entrambe le domande? Grazie
Dovrei rispondere anche a queste due domande:
1)Sia A una matrice quadrata di ordine 4 e tale che il suo rango sia 4. Si dica se A ammette inversa e, in caso di risposta affermativa, si dica quanto vale il rango della sua inversa.
2)A è una matrice invertibile di ordine 4, sapendo che detA=-1 si calcoli $det(-A^-1)$
Per la prima ho provato a rispondere così ma non so se è corretta o no...
1) Una matrice quadrata A ammette inversa se e solo se il suo determinante è diverso da 0, ovvero quando le colonne (o le righe) di A risultano linearmente indipendenti.
Sapendo che una matrice ha al suo interno vettori colonna (riga) linearmente indipendenti x^1,..,x^k se e solo se il rango della matrice A è k, allora in questo caso la matrice A ammette inversa in quanto k=4 e il rango=4.
Non ho idea però di quanto valga il rango dell'inversa..
Mi sapete dire la vostra su entrambe le domande? Grazie
"andre.silv":
Non ho idea però di quanto valga il rango dell'inversa..
Anche l'inversa è una matrice invertibile, quanto deve valere perciò il suo rango?
"andre.silv":
2)A è una matrice invertibile di ordine 4, sapendo che detA=-1 si calcoli $det(-A^-1)$
Se $A$ è una matrice quadrata di ordine $n$ invertibile a coefficienti in $K$, e $\lambda \in K$ è una costante, allora $\det(A) = \frac{1}{\det(A^{-1})}$ e $\det(\lambda A) = \lambda^n \det(A)$.
1)...sempre 4?
2) Quindi:
$det(A) = 1/(det(A^-1))$ => $-1 = 1/(det(A^-1))$ => $det(A^-1)=-1$
Sapendo che:
$\det(\lambda A) = \lambda^n \det(A)$
Perciò:
$det(-1*A^-1) = (-1)^4*det(A^-1) = 1*(-1)= -1$
Mi sai dire dove posso trovare tutte queste belle proprietà? (per rispondere a questa domanda mi sono dovuto costruire una matrice con detA=-1, calcolare l'inversa e poi il suo determinante...e alla fine sono arrivato al risultato, ma è piuttosto scomodo come metodo
)
2) Quindi:
$det(A) = 1/(det(A^-1))$ => $-1 = 1/(det(A^-1))$ => $det(A^-1)=-1$
Sapendo che:
$\det(\lambda A) = \lambda^n \det(A)$
Perciò:
$det(-1*A^-1) = (-1)^4*det(A^-1) = 1*(-1)= -1$
Mi sai dire dove posso trovare tutte queste belle proprietà? (per rispondere a questa domanda mi sono dovuto costruire una matrice con detA=-1, calcolare l'inversa e poi il suo determinante...e alla fine sono arrivato al risultato, ma è piuttosto scomodo come metodo
)
"andre.silv":
Mi sai dire dove posso trovare tutte queste belle proprietà?
Su un libro di Algebra Lineare.
Oppure cerchi in rete...
perfetto, le ho trovate!
Grazie mille!
Grazie mille!
Ciao, volevo ringraziarvi per avermi dato una mano (specialmente n.icola e Tipper) per la risoluzione di questi problemi di algebra lineare, ne è capitato uno molto simile all'esame, quindi è grazie anche al vostro aiuto se sono riuscito a passare l'esame di matematica B con un buon 26!
Grazie a tutti e alla prossima
!
Grazie a tutti e alla prossima
!
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