Dipendenza lineare

[Ale0010]

Ciao! Ho una matrice A quadrata di ordine n le cui colonne sono linearmente dipendenti, come faccio a dimostrare che anche la matrice $A^2$ ha le colonne linearmente dipendenti? So che per ottenere $A^2$ devo fare il prodotto di $A*A$ ma da qui come procedo??
So anche che lo spazio delle colonne di A è un sottospazio di $R^n$

[_prime_number]

Ricorda che essendo la matrice quadrata $det(A^2)=(det(A))^2$.

Paola

[Ale0010]

Quindi se ho capito: il $det(A)=0$ perche il determinante di una matrice con le colonne linearmente dipendenti è 0, quindi il $det(A^2)=0^2$ e questo significa che le colonne di $A^2$ sono lin. dip. vero?

[_prime_number]

Esatto, perchè $A^2$ sarà a sua volta una matrice di ordine $n$ e se il suo determinante è $0$ significa che il rango non può essere $n$... ed essendo il rango (sempre!) il numero di righe (e colonne) lin. indip. della matrice, ecco risolto il tutto.

Paola

[Ale0010]

Grazie mille!