Dimostrazioni topologia
Ho un esercizio simpatico dello sbordone che dice:
dimostrare tali proprietà:
1) l'insieme vuoto e $RR^n$ sono chiusi
2) un'unione finita di chiusi è un chiuso
3) ogni intersezione di chiusi è un chiuso
mie tentate dimostrazioni
1) dalla def: un sottoinsieme C di $RR^n$ è chiuso se il suo complementare è un aperto
$C = X - A$ con $A$ aperto
se: $A=0$ => $C = RR^n$ chiuso
se $A=RR^n$
$C= X - RR^n$
credo che $X$ possa essere solo $RR^n$, in tale caso $C$ è vuoto
dalla teoria (sbordone) ho letto che sia l'insieme vuoto che $RR^n$ sono aperti. Quindi solo tali insiemi hanno la proprietà di essere sia chiusi che aperti?
2) $C_1, C_2, ....... , C_k$ insiemi chiusi
$U_i C_i = C$ cioè unione finita chiusi (con U che va da $i=1$ a $k$)
sappiamo che un unione di una famiglia di aperti è un aperto
$A_1,....,A_k$ insieme aperti
$U_i A_i = A$ cioè unione finita chiusi (con A che va da $i=1$ a $k$)
relazione insiemistica che lega chiusi e aperti:
$U_i C_i = - U_i A_i$
ma $- U_i A_i$ è un chiuso
3) l'intersezione di due aperti è un aperto
$(C_1)' W (C_2)' = C$
W sta per intersezione
$(C_1)' $ e $(C_2)'$ sono due aperti
per definizione di chiusi:
$C= - (C_1)'$ e $C_2 = - (C_2)'$
intersechiamo
$ (-(C_1)' ) W (- (C_2)') = - C$
da cui:
$C_1 W C_2 = - C$ (intersezione di due chiusi è un chiuso: complementare di un aperto)
è scritto un pò male, ma è il max che sono riuscito a fare ://
qualche dritta?
dimostrare tali proprietà:
1) l'insieme vuoto e $RR^n$ sono chiusi
2) un'unione finita di chiusi è un chiuso
3) ogni intersezione di chiusi è un chiuso
mie tentate dimostrazioni
1) dalla def: un sottoinsieme C di $RR^n$ è chiuso se il suo complementare è un aperto
$C = X - A$ con $A$ aperto
se: $A=0$ => $C = RR^n$ chiuso
se $A=RR^n$
$C= X - RR^n$
credo che $X$ possa essere solo $RR^n$, in tale caso $C$ è vuoto
dalla teoria (sbordone) ho letto che sia l'insieme vuoto che $RR^n$ sono aperti. Quindi solo tali insiemi hanno la proprietà di essere sia chiusi che aperti?
2) $C_1, C_2, ....... , C_k$ insiemi chiusi
$U_i C_i = C$ cioè unione finita chiusi (con U che va da $i=1$ a $k$)
sappiamo che un unione di una famiglia di aperti è un aperto
$A_1,....,A_k$ insieme aperti
$U_i A_i = A$ cioè unione finita chiusi (con A che va da $i=1$ a $k$)
relazione insiemistica che lega chiusi e aperti:
$U_i C_i = - U_i A_i$
ma $- U_i A_i$ è un chiuso
3) l'intersezione di due aperti è un aperto
$(C_1)' W (C_2)' = C$
W sta per intersezione
$(C_1)' $ e $(C_2)'$ sono due aperti
per definizione di chiusi:
$C= - (C_1)'$ e $C_2 = - (C_2)'$
intersechiamo
$ (-(C_1)' ) W (- (C_2)') = - C$
da cui:
$C_1 W C_2 = - C$ (intersezione di due chiusi è un chiuso: complementare di un aperto)
è scritto un pò male, ma è il max che sono riuscito a fare ://
qualche dritta?
Risposte
up
sposto in geometria, magari lì riceverai risposte.
Un consiglio generale, in topologia devi SEMPRE specificare che topologia usi. Ad esempio in questo caso l'euclidea.
1) va bene, si basa sul fatto che l'insieme vuoto e l'insieme ambiente sono, per definizione di topologia, sempre aperti. Come hai dimostrato, sono anche sempre chiusi, qualunque spazio topologico tu abbia per le mani. Questo ti fa anche riflettere sul fatto che in topologia le classi di aperti e chiusi non sono disgiunte, oltre al fatto che esistono anche insiemi che sono nè chiusi nè aperti.
2) Non va bene. Il segreto è $\bigcup_{i=1,...,k} C_i = \bigcup_{i=1,...,k} (\mathbb{R}^n\setminus A_i)=\mathbb{R}^n\setminus(\bigcap_{i=1,...k} A_i)$ dove $A_i$ è l'aperto complementare di $C_i$ e per definizione di topologia l'intersezione finita di aperti è aperta, quindi quel complementare è chiuso.
3) Simile a 2), devi ricondurti al fatto che l'unione (anche infinita) di aperti è aperta sempre giocando coi complementari.
Paola
1) va bene, si basa sul fatto che l'insieme vuoto e l'insieme ambiente sono, per definizione di topologia, sempre aperti. Come hai dimostrato, sono anche sempre chiusi, qualunque spazio topologico tu abbia per le mani. Questo ti fa anche riflettere sul fatto che in topologia le classi di aperti e chiusi non sono disgiunte, oltre al fatto che esistono anche insiemi che sono nè chiusi nè aperti.
2) Non va bene. Il segreto è $\bigcup_{i=1,...,k} C_i = \bigcup_{i=1,...,k} (\mathbb{R}^n\setminus A_i)=\mathbb{R}^n\setminus(\bigcap_{i=1,...k} A_i)$ dove $A_i$ è l'aperto complementare di $C_i$ e per definizione di topologia l'intersezione finita di aperti è aperta, quindi quel complementare è chiuso.
3) Simile a 2), devi ricondurti al fatto che l'unione (anche infinita) di aperti è aperta sempre giocando coi complementari.
Paola
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