Dimostrazioni su Spazi Lineari

[BHK1]

Dimostra che l’insieme C[a,b] di tutte le funzioni continue nell’intervallo [a,b] è uno
spazio lineare sull’insieme dei numeri reali R.

Come lo dimostro, devo verificare tutte e dieci le proprietà degli spazi lineari?

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

[mod="Martino"]Nel frattempo sposto in algebra lineare, e mi scuso per il ritardo. BHK, per favore stai attento alla sezione in cui posti, grazie.[/mod]

[gugo82]

@Martino: In parte è colpa mia; visto che ero intervenuto, potevo segnalare lo spostamento.
Scusami per non averti aiutato.

[BHK1]

Ipotesi
$f(x)+g(x)=g(x)+f(x)$ $f,g in C[a,b] ^^ RR^([[a,b]])$

$f(x)+g(x)=g(x)+f(x)$

$(f+g)(x)=(g+f)(x)$

$lim_(x->x_0)(f+g)(x)=lim_(x->x_0)(f+g)(x_0)=f(x_0)+g(x_0)$

Vale sempre $f(x_0)+g(x_0)=g(x_0)+f(x_0)$

[gugo82]

@BHK: Come detto più sopra, l'idea di base c'è, ma dovresti sforzarti a mettere le tue deduzioni in forma intellegibile anche ad altri...
I costrutti del tipo "se... allora..." sono utili ed esistono in lingua italiana, quindi cerca di usarli.

Devi far vedere che [tex]$\forall f,g \in C([a,b]),\ f+g=g+f$[/tex], il che significa che, comunque siano fissate [tex]$f,g\in C([a,b])$[/tex], devi mostrare che:

- il dominio ed il codominio di [tex]$f+g$[/tex] coincidono col dominio e codominio di [tex]$g+f$[/tex];

- che la legge di assegnazione di [tex]$f+g$[/tex] coincide con quella di [tex]$g+f$[/tex], ossia che [tex]$\forall x_0\in [a,b],\ (f+g)(x)=(g+f)(x)$[/tex].

Come fare?
Beh, la prima questione è immediata e segue dalla definizione di [tex]$f+g$[/tex] ed [tex]$g+f$[/tex].
Per la seconda questione, devi usare la definizione di [tex]$(f+g)(x)$[/tex], la continuità di [tex]$f,g$[/tex], la continuità della somma di due funzioni continue e la commutatività della somma in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] (più o meno in quest'ordine)... Quindi?