Dimostrazioni su Spazi Lineari
Dimostra che l’insieme C[a,b] di tutte le funzioni continue nell’intervallo [a,b] è uno
spazio lineare sull’insieme dei numeri reali R.
Come lo dimostro, devo verificare tutte e dieci le proprietà degli spazi lineari?
spazio lineare sull’insieme dei numeri reali R.
Come lo dimostro, devo verificare tutte e dieci le proprietà degli spazi lineari?
Risposte
"BHK":
Dimostra che l’insieme C[a,b] di tutte le funzioni continue nell’intervallo [a,b] è uno
spazio lineare sull’insieme dei numeri reali R.
Come lo dimostro, devo verificare tutte e dieci le proprietà degli spazi lineari?
Sì, dovresti fare così. In realtà è molto facile come cosa.
Come formalizzo tutte le funzioni continue?
"BHK":
Come formalizzo tutte le funzioni continue?
Che vuol dire?
Quoto la domanda di gugo! 
posso usare una funzione continua qualsiasi per dimostrarlo?
Certo! Tipo: devi dimostrare che la somma di funzioni continue è continue, ma questo lo sai dal corso di analisi matematica I. 
quindi posso dimostrarlo con un funzione come $f(x)=x+1$?
Scusa BHK ma non riesco a capire cosa ti creei problemi.
Voglio dire, se al posto di [tex]$C([a,b])$[/tex] ci fosse un qualsiasi altro insieme, diciamo per esempio [tex]$\mathbb{R}^N$[/tex], come faresti?
E chi ti impedisce di fare lo stesso in [tex]$C([a,b])$[/tex]?
Voglio dire, se al posto di [tex]$C([a,b])$[/tex] ci fosse un qualsiasi altro insieme, diciamo per esempio [tex]$\mathbb{R}^N$[/tex], come faresti?
E chi ti impedisce di fare lo stesso in [tex]$C([a,b])$[/tex]?
Allora non devo dimostrare che la somma di due funzioni continue è ancora una funzione continua, devo dimostrare se le funzioni continue sono degli spazi vettoriali.
Per farlo devo dimostrare tutti e 10 gli assiomi.
Ad esempio se fossero i polinomi di grado $<=2$ potrei scrivere $alphax^2+betax+c=0$ e dimostrare tutti gli assiomi.
Il punto è che non riesco a farlo per le funzioni.
Per farlo devo dimostrare tutti e 10 gli assiomi.
Ad esempio se fossero i polinomi di grado $<=2$ potrei scrivere $alphax^2+betax+c=0$ e dimostrare tutti gli assiomi.
Il punto è che non riesco a farlo per le funzioni.
Prendi l'insieme $C$ delle funzioni continue e il campo dei numeri reali. Definisci su $C$ due operazioni: una somma $+$ (interna) e una moltiplicazione per un numero reale $*$; si definiscono banalmente.
Alla fine, come ti dicevano altri interventi, basta considerare la somma e la moltiplicazione per un numero reale che hai visto in Analisi quando hai trattato l'algebra delle funzioni continue.
Poi verifica che $(C, +)$ è un gruppo abeliano.
Per esempio l'esistenza del neutro è ovvia. Prendi la funzione costante $f(x) = 0$. Hai che $AA g in C$, $f + g = g$.
Infine verifichi gli altri assiomi equazionali che tu ben saprai.
Alla fine, come ti dicevano altri interventi, basta considerare la somma e la moltiplicazione per un numero reale che hai visto in Analisi quando hai trattato l'algebra delle funzioni continue.
Poi verifica che $(C, +)$ è un gruppo abeliano.
Per esempio l'esistenza del neutro è ovvia. Prendi la funzione costante $f(x) = 0$. Hai che $AA g in C$, $f + g = g$.
Infine verifichi gli altri assiomi equazionali che tu ben saprai.
"BHK":Non lo sapevo che le funzioni continue fossero spazi vettoriali, di grazia: su quale campo? -_-
Allora non devo dimostrare che la somma di due funzioni continue è ancora una funzione continua, devo dimostrare se le funzioni continue sono degli spazi vettoriali...
Io se fossi in te ricomincerei a ripassarmi la teoria perché questa affermazione errata può essere solo di un* che non ha capito cosa sono gli spazi vettoriali su un campo!
Il campo è $RR$ come ho scritto nel primo post.
Vediamo se risco a dimostrare almeno un assioma.
Siano $f(x)$ e $g(x)$ funzioni continue nel punto $x_0$ appartenente all'intervallo $[a,b]$
$f(x)rarrf(x_0)$ e $g(x)rarrg(x_0)$
quindi:
$f(x)+g(x)rarrf(x_0)+g(x_0)$ per$ xrarrx_0$
Siano $f(x)$ e $g(x)$ funzioni continue nel punto $x_0$ appartenente all'intervallo $[a,b]$
$f(x)rarrf(x_0)$ e $g(x)rarrg(x_0)$
quindi:
$f(x)+g(x)rarrf(x_0)+g(x_0)$ per$ xrarrx_0$
E che assioma sarebbe?
$x in X, y in X=> x+y in X$
"BHK":
$x in X, y in X=> x+y in X$
Ma questo è tanto come dire che la somma di due funzioni continue è una funzione continua. Cioè l'insieme $C$ è chiuso rispetto alla somma, cosa che sapevi già.
si ma la mia dimostrazione è valida?
"BHK":
si ma la mia dimostrazione è valida?
Non per essere duro, ma secondo te quella è una dimostrazione?
Scrivi le cose per bene...
L'idea è questa.
Definiamo la somma in [tex]$C([a,b])$[/tex] in "senso puntuale", ossia ponendo per definizione:
[tex]$+:C([a,b])\time C([a,b]) \ni (f,g)\mapsto f+g\in \mathbb{R}^{[a,b]}$[/tex]* ove [tex]$f+g:[a,b]\ni x\mapsto f(x)+g(x)\in \mathbb{R}$[/tex];
l'operazione di somma è interna a [tex]$C([a,b])$[/tex]: infatti, per noti fatti sui limiti, si ha:
[tex]$\forall x_0\in [a,b],\ \lim_{x\to x_0} (f+g)(x) =\lim_{x\to x_0} f(x)+g(x)=f(x_0)+g(x_0) =(f+g)(x_0)$[/tex]
ergo [tex]$f+g\in C([a,b])$[/tex].
Ora devi dimostrare: 1) che [tex]$+$[/tex] è associativa; 2) che [tex]$+$[/tex] è commutativa; 3) che è dotata di elemento neutro (che sarà anche unico); 4) che ogni [tex]$f\in C([a,b])$[/tex] ha un opposto in [tex]$C([a,b])$[/tex].
Poi devi definire un prodotto per lo scalare: ciò lo puoi fare per analogia, come lo lascio decidere a te.
Una volta definita tale operazione devi dimostrare che essa è interna e poi che gode delle rimanenti proprietà.
__________
* Ricordo che [tex]$\mathbb{R}^{[a,b]}$[/tex] è l'insieme di tutte le possibili applicazioni di [tex]$[a,b]$[/tex] in [tex]$\mathbb{R}$[/tex].
bon, mi arrendo, se mi viene un lampo di genio ci riprovo ma ne dubito
Piemontese? 
Ad ogni modo, non ti arrendere: devi perfezionare ciò che scrivi, perchè l'idea di base l'avevi afferrata (ma era espressa male nel tuo post precedente).
Parti da quello che ti ho scritto e prova ad andare avanti... Comincia a dimostrare l'associatività e la commutatività della somma, ad esempio.
Ad ogni modo, non ti arrendere: devi perfezionare ciò che scrivi, perchè l'idea di base l'avevi afferrata (ma era espressa male nel tuo post precedente).
Parti da quello che ti ho scritto e prova ad andare avanti... Comincia a dimostrare l'associatività e la commutatività della somma, ad esempio.
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