Dimostrazioni somma e intersezione di sottospazi
Ragazzi qualcuno mi spiegherebbe le dimostrazioni per cui la somma di due sottospazi è ancora sottospazio, e la intersezione di due sottospazi è ancora sottospazio? Ho l'esame domani..
Risposte
posta la dim e i dicci i punti poco chiari!
non ho proprio la dimostrazione e non riesco a trovarla in giro
La dimostrazione si fa in una riga. Se hai l'esame domani dovresti saperla fare; se mi sbaglio, allora ti consiglio di prendere un buon libro di testo e studiare meglio.
Sia $V$ uno spazio vettoriale su un campo $K$. Se $ U, W $ sono sottospazi di $V$ Allora lo è anche $U nn W$.
dim :
Sì tratta di utilizzare la caratterizzazione dei sottospazi, cioè provare che $AA \alpha,\beta \in K , AA v,w \in U nn W : \alpha v + \beta w \in U nn W$.
Proviamolo. Siano $v,w \in U nn W$.
Allora $v,w \in U $ ed $v,w \in W$. Per la chiusura rispetto al prodotto per scalare di $U$ e $W$ presi due generici $\alpha, \beta in K$ vale che
$\alpha v ,\beta w \in U $ ed $ \alpha v , \beta w \in W$.
$U$ e $W$ sono in particolare chiusi rispetto alla somma. Dunque
$\alpha v + \beta w \in U$ ed $ \alpha v + \beta w \in W$ (1)
Dalla (1) si ha la tesi. End.
Per la somma tra sottospazi, si procede in maniera completamente analoga, provaci.
Ricorda che
$U + W ={ v \in V | EE u \in U , EE w \in W \: t.c \: v=u+w}$
dim :
Sì tratta di utilizzare la caratterizzazione dei sottospazi, cioè provare che $AA \alpha,\beta \in K , AA v,w \in U nn W : \alpha v + \beta w \in U nn W$.
Proviamolo. Siano $v,w \in U nn W$.
Allora $v,w \in U $ ed $v,w \in W$. Per la chiusura rispetto al prodotto per scalare di $U$ e $W$ presi due generici $\alpha, \beta in K$ vale che
$\alpha v ,\beta w \in U $ ed $ \alpha v , \beta w \in W$.
$U$ e $W$ sono in particolare chiusi rispetto alla somma. Dunque
$\alpha v + \beta w \in U$ ed $ \alpha v + \beta w \in W$ (1)
Dalla (1) si ha la tesi. End.
Per la somma tra sottospazi, si procede in maniera completamente analoga, provaci.
Ricorda che
$U + W ={ v \in V | EE u \in U , EE w \in W \: t.c \: v=u+w}$
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