Dimostrazioni formule circonferenza

[kobeilprofeta]

Come sono state ricavate le formule di circonferenza, cerchio, sfera, etc...?
Ho trovato su wikipedia le dimostrazioni attraverso gli integrali definiti, quindi facendo per esempio $2*\int_{-r}^r sqrt(r^2-x^2) dx$ e da quella trovare quella dell'area del cerchio e così via...
Ma poi mi è venuta in mente una cosa: in uno degli ultimi passaggi ci si trova a risolvere un'equazione del tipo $arcsin x= 1$, le quali soluzioni discendono dalla definizione di angolo misurato in radianti che, a sua volta, deriva dalla misura della circonferenza.
Non so se mi sono spiegato bene ma questa dimostrazione non è autosufficiente perchè si basa su sè stessa: se non sapessi che la circonferenza vale $2pir$ non saprei che $sin 1=90^o=pi/2$.

[Quinzio]

Beh, diciamo che il problema vero può essere solo uno: trovare le cifre di $\pi$.
Nel senso che è stato battezzato un numero trascendente e quello è il rapporto tra diametro e circonferenza per definizione.
Non c'è nulla da ricavare in questo senso.
Poi puoi trovare il rapporto tra volume della sfera (area cerchio, ecc) e diametro usando $\pi$, tramite l'integrazione.
Esistono allora vari metodi ingegnosi per trovare le cifre di $\pi$, ma non so se era questo il tuo dubbio.

[gugo82]

"kobeilprofeta":Come sono state ricavate le formule di circonferenza, cerchio, sfera, etc...?

La risposta a questo quesito è: "dipende da che vuoi sapere"...

Infatti, tutto ciò che si è sempre saputo, fin dall'antichità (cioé da quando i geometri hanno trovato il modo in cui misurare le aree delle figure più semplici della Geometria Elementare) è che la lunghezza della circonferenza è proporzionale al raggio della stessa, mentre l'area del cerchio da esso racchiusa è proporzionale al quadrato del raggio della circonferenza; in termini moderni, i geometri antichi sapevano che:
\[
\begin{split}
\mathcal{C}(r) &= c\cdot r\\
\mathcal{A}(r) &= a\cdot r^2\; ,
\end{split}
\]
in cui \(\mathcal{C}(r)\) è la lunghezza della circonferenza di raggio \(r>0\), \(\mathcal{A}(r)\) è l'area del cerchio delimitata da tale circonferenza e \(c,a>0\) sono due opportune costanti di proporzionalità.[nota]Le quali costanti, a ben vedere, rappresentano rispettivamente la lunghezza della circonferenza di raggio unitario e l'area del cerchio delimitato da tale circonferenza.[/nota]
La cosa bellissima è che i geometri greci, usando la sola geometria sintetica (ma non chiedermi come... ), riuscirono a stabilire che tra le costanti di proporzionaltà \(c\) ed \(a\) sussisteva una ben precisa relazione di proporzionalità, cioé:
\[
c=2a\; ;
\]
pertanto le relazioni tra \(\mathcal{C}(r)\), \(\mathcal{A}(r)\) ed \(r\) si possono riscrivere:
\[
\begin{split}
\mathcal{C}(r) &= 2a\cdot r\\
\mathcal{A}(r) &= a\cdot r^2\; .
\end{split}
\]
Della costante \(a\) si sapeva che era un numero prossimo a \(3\) fin dall'alba dei tempi: ad esempio nella Bibbia, se non ricordo male, c'è un passo da cui si deduce \(a=3\); a Babilonia era usato \(a=25/8\); in India era più o meno \(a=339/108\); etc...
I matematici greci affinarono un po' la stima, fornendo per \(a\) stime del tipo \(223⁄71 < a< 22⁄7\) (dovute ad Archimede, con l'uso di poligoni regolari inscritti e circoscritti) o tipo \(a= 377/120\) (dovuta a Tolomeo).

Ovviamente, gli scienziati hanno proseguito per secoli nel cercare valori sempre migliori della costante \(a\), guidati dall'idea di stabilire se tale costante fosse razionale (i.e. un numero frazionario), ma più si andava avanti, più miglioravano le cifre significative nelle approssimazioni, più ci si rendeva conto che il numero \(a\) "non poteva" essere razionale... Ed infatti si è scoperto che la costante \(a\), nel frattempo battezzata con la lettera \(\pi\) (iniziale di "perimetro" in greco antico) da Jones in un manuale del 1706[nota]La notazione è diventata di uso comune solo dopo il 1748, anno in cui fu pubblicato il bestseller di Eulero, Introductio in analysin infinitorum, uno dei pilastri del Calcolo Infinitesimale.[/nota], è irrazionale (risultato di Lambert del 1761) ed addirittura trascendente (Lindemann del 1882).[nota]Nota che l'irrazionalità del rapporto tra la lunghezza della diagonale e del lato di un quadrato era già nota agli antichi greci all'epoca di Pitagora (circa 570 - 495 a.C)... Dai circa ventidue secoli che separano Pitagora e Lambert deduciamo che il problema dell'irrazionalità del rapporto tra area del cerchio e quadrato del raggio era un problema difficile.[/nota]

"kobeilprofeta":Ho trovato su wikipedia le dimostrazioni attraverso gli integrali definiti, quindi facendo per esempio $2*\int_{-r}^r sqrt(r^2-x^2) dx$ e da quella trovare quella dell'area del cerchio e così via...
Ma poi mi è venuta in mente una cosa: in uno degli ultimi passaggi ci si trova a risolvere un'equazione del tipo $arcsin x= 1$, le quali soluzioni discendono dalla definizione di angolo misurato in radianti che, a sua volta, deriva dalla misura della circonferenza.
Non so se mi sono spiegato bene ma questa dimostrazione non è autosufficiente perchè si basa su sè stessa: se non sapessi che la circonferenza vale $2pir$ non saprei che $sin 1=90^o=pi/2$.

Ciò ti sembra così perché oggi i Matematici seri preferiscono definire \(\pi\) assiomaticamente in qualche maniera.
Ad esempio, \(\pi\) è il più piccolo numero reale positivo tale che \(\exp (\imath\ \pi/2) =\imath\) (l'esponenziale è complesso) o come l'ascissa del primo zero positivo della soluzione massimale del PdC:
\[
\begin{cases}
y^{\prime \prime} (x) + y(x)=0\\
y(0) = 0\\
y^\prime (0)=1\; ,
\end{cases}
\]
etc...

[kobeilprofeta]

Grazie, chiaro come sempre. Credo quindi di poter dire che la misura della circonferenza è la definizione stessa di $pi$, mentre area del cerchio, volume della sfera, etc... Sono ricavabili con gli integrali (o altri metodi). Comunque mi è chiaro anche il fatto che si stia cercando di dare nuove definizioni a $pi$ che non siano il rapporto tra circonferenza e diametro. Grazie e ciao.