Dimostrazioni di Matrici
Mi aiutereste con queste dimostrazioni?
1.È vero che se A è una matrice non nulla, allora A è invertibile?
2.È vero che se A è invertibile, allora A è non nulla?
3.Sia A una matrice nxn con A^2 = I, cosa si può dire del determinante di A?
4.Mostrare che esiste una matrice 2x2 A tale che A =! 0 e A^2 = 0.
5.Dimostrare che se A e B sono due matrici nxn simmetriche tali che AB = BA, allora AB è simmetrica.
1.È vero che se A è una matrice non nulla, allora A è invertibile?
2.È vero che se A è invertibile, allora A è non nulla?
3.Sia A una matrice nxn con A^2 = I, cosa si può dire del determinante di A?
4.Mostrare che esiste una matrice 2x2 A tale che A =! 0 e A^2 = 0.
5.Dimostrare che se A e B sono due matrici nxn simmetriche tali che AB = BA, allora AB è simmetrica.
Risposte
I primi due sono davvero immediati come dice il buon Arnett.
Per il terzo, applica la definizione di matrice inversa e vedi cosa salta fuori. Posso dirti però che tipo di trasformazioni sono: riflessioni (o se preferisci rotazioni di 180° attorno ad un asse). Se la trasformazione A viene applicata due volte (=$A^2$), allora tutto torna al punto di partenza (identità). Sono matrici involutorie.
Il quarto in realtà assai semplice. E' una matrice nilpotente di ordine 2 quella devi costruire...e francamente ci metti un secondo.
Per il quinto scrivi l'equazione proposta (la commutatività) e applica la trasposta ad entrambi i membri e vedi cosa succede.
Per il terzo, applica la definizione di matrice inversa e vedi cosa salta fuori. Posso dirti però che tipo di trasformazioni sono: riflessioni (o se preferisci rotazioni di 180° attorno ad un asse). Se la trasformazione A viene applicata due volte (=$A^2$), allora tutto torna al punto di partenza (identità). Sono matrici involutorie.
Il quarto in realtà assai semplice. E' una matrice nilpotente di ordine 2 quella devi costruire...e francamente ci metti un secondo.
Per il quinto scrivi l'equazione proposta (la commutatività) e applica la trasposta ad entrambi i membri e vedi cosa succede.
Per il terzo: usa il teorema di Binet. O è 1 o -1
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