Dimostrazioni di geometria che non trovo sul libro

[fed_27]

Salve a tutti stamane riguardando gli appunti di geometria ho trovato questa proposizione: la matrice associata ad un applicazione fra due riferimenti ortonormali è ortgonale.
Il problema è non ho la dimostrazione (probabilmente non la diede la professoressa) ho provato a dimostrarlo io , correggetemi
presi due riferimenti ortonormali $ R(e_1,...,e_n) $e $R'(e'_1,....,e'_n)$

presa la matrice di passaggio tra i due riferimenti B X=BX'
la matrice B ha come colonne le componenti nel riferimento R dei vettori di R' per cui il prodotto scalare tra le colonne di questa matrice è pari a zero dunque è una matrice ortogonale
viceversa non so come fare....

altro problema
la dimostrazioen della propozione
un endomorfismo di uno spazio euclideo si dice simmetrico se vale la sequente proprietà se presa una coppia di vettori allora: s(prodotto scalare)
s(f(v),u)=s(v,f(u))

io negli appunti mi ritrovo
u=X
v=Y

$s(X_t,AY)=s((AX)_t,Y)$*
da cui arrivo a dire che $A=A_t$ che A è simmetrica
pero non capisco come mi trovo i valori * nei prodotti scalari
grazie

[dissonance]

"fed27":
viceversa non so come fare....

Guarda, si tratta solo di verificare che la tua applicazione conserva il prodotto scalare. Cioé: sia $V$ il nostro spazio vettoriale euclideo, $B=(b_1...b_n)$ una base ortonormale, $phi$ l'endomorfismo tale che la matrice associata $M$ rispetto alla base $B$ sia ortogonale. Calcoliamo il prodotto scalare $\langlephi(v), phi(w)\rangle$: se $v=x_1b_1+...+x_nb_n, w=y_1b_1+...+y_nb_n$, allora $phi(v)=x_1'b_1+...+x_n'b_n, w=y_1'b_1+...+y_n'b_n$ dove $((x_1'),(vdots), (x_n'))=M((x_1),(vdots),(x_n))$, $((y_1'),(vdots), (y_n'))=M((y_1),(vdots),(y_n))$.
Siccome la base $B$ è ortonormale, possiamo calcolare facilmente i prodotti scalari: $\langlev,w\rangle=x_1y_1+...+x_ny_n$, $\langlephi(v), phi(w)\rangle=x_1'y_1'+...+x_n'y_n'=(x_1',...,x_n')((y_1'), (vdots), (y_n'))=[(x_1, ..., x_n)M^T][M((y_1),(vdots),(y_n))]$$=(x_1, ..., x_n)[M^TM]((y_1),(vdots),(y_n))$ e siccome $M$ è ortogonale, questo è uguale a $x_1y_1+...+x_ny_n$. Perciò la nostra applicazione $phi$ conserva il prodotto scalare.