Dimostrazione terza formula di Frenet

[squirrel_anna]

Nella dimostrazione della terza formula di frenet $N'=-\tauvB-kvT$ si usa il fatto che $N'=\alphaT+\betaB$ dove $\alpha=T*N'$ e $\beta=N'*B$ ma dato che T*T=1 e B*B=1 secondo me non è verificata quell'uguaglianza, perchè verrebbe N'=2N' .... qualcuno sa dirmi dove sta il mio errore?

[Seneca1]

$v$ cos'è?

EDIT: Se puoi, riporta qualche riga della dimostrazione.

[squirrel_anna]

v è la velocità! la dimostrazione è piccolissima inizia proprio dal fatto che N ed N' sono perpendicolari quindi N' può essere scritta in quel modo come combinazione linare di T e B e la dim dice che i coefficienti che si mettono sono appunto quelli che ho scritto sopra, ma non mi tornano i conti... perchè mettendo alfa e beta in quel modo a me viene N'=2N'...
Ho pensato che se metto $\alpha=TN'$ ma $\beta=NB$ allora la formula torna perchè N*B=0 ma poi non mi tornano i conti dopo... perchè dopo derivi B*N=0 quindi viene B'N+BN'=0 e qui $B'N=v\tau$ per la seconda formula di frenet ma BN' non è uguale a $\beta$ come dovrebbe invece essere per trovare $\beta=-\tauv$ . Con la $\alpha$ non c'è nessun problema invece....