Dimostrazione Teorema spettrale Reale

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Salve espongo qui la dimostrazione del teorema su citato,gradirei da chiunque sappia ciò che dice consigli su esposizione,o sui concetti stessi:
Ipotesi: Sia $A in R^nXR^n$ matrice tale che $a_{ij}=a_{ji}$ .
Tesi: Esiste una base ortonormale di A in $R^n$,formata da autovettori di A,in altre parole:
Esiste una base ortonormale spettrale reale di A.
Dimostrazione:
Si procede per induzione :
N=1) Essendo A matrice simmetrica allora l'operatore a cui essa è associato sarà autoaggiunto,$A:C^n->C^n$ ,dunque esiste sicuramente un autovalore reale ed esiste nell'autospazio di questo un autovettore reale ,chiamiamo questo $u$.
Si noti che l'autoaggiunto è stato 'immerso' nel campo complesso per beneficiare del teorema dei sottospazi invarianti.
Normalizzando $u$ otteniamo il primo elemento della base cercata.
Pretendiamo ora per induzione la tesi vera per $K A questo punto consideriamo il complemento ortogonale in $C^n$ della nostra base ,ossia:
$ W=(w in C^n: w*ui=0, AA i=1..k )$ ,possiamo affermare che se $k Inoltre poichè $A(w)u=w(A(u))=wcu$ con $c$ intendo autovalore ,allora si nota che $A:w->w$ ,cioè può essere considerato come un endomorfismo,giustappunto si può ancora utilizzare il teorema dei sottospazi invarianti considerando quindi che esiste sicuramente un autovalore reale di $W$ ,uguale o distinto dagli altri trovati,in più esiste anche un autovettore in generale complesso corrispondente all'autovalore cercato.
Considerando che $v in W$ allora $v$ è ortogonale alla base nostra temporanea $u1..uk$ sappiamo poi che un vettore complesso è ortogonale ad uno reale se e solo se lo sono le sue componenti reali ed immaginarie,sappiamo poi che una di queste è un autovettore reale di $A$,di conseguenza possiamo aggiungere il vettore $v$ normalizzato alla nostra base ed iterare il procedimento fin quando $K=N$ arrivati qui abbiamo una base ortonormale formata da autovettori di $A$.

Oltre esporre la dimostrazione volevo chiedere:
Ma quindi in parole non rigorose per formare una base ,sfrutto in maniera fondamentale il teorema della proiezione ortogonale estraggo un autovettore da $W$ lo inserisco nella mia base fin quando non raggiungo la dimensione giusta?
Ringrazio coloro che avranno voglia di legge sto manoscritto..

[j18eos]

Data una matrice reale simmetrica in tale maniera hai una base ortonormale; la dimostrazione non te la saprei controllare visto che la conosco in una forma più semplice senza usare tanti paroloni (autoaggiunto, proiettore, ed altri) non che non si possa esporla con essi eh!

EDIT: A scanso di equivoci: le basi ortonormali di uno spazio euclideo a dimensione finita NON SONO SOLO determinabili come insiemi degli autovettori di una matrice simmetrica reale.

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Nessuno ha voglia di dare un occhio?

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