Dimostrazione Teorema Rouche-Capelli

[megaempire]

Salve a tutti vorrei dimostrare il teorema di Ruoche-Capelli.
TEOREMA
Sistema lineare risolvibile $harr$ $\rho(A|B) = \rho(A)$ allora dovrei dimostrare la doppia implicazione

Dimostrazione
Sistema lineare risovibile $rArr ρ(A|B)=ρ(A)$
sistema Ax = b ammette soluzione se e solo se $b = x_1A_1+x_2A_2+. . .+x_nA_n$,
cio`e se e solo se b `e una combinazione lineare di $A_1,A_2, . . . ,A_n$
cio`e se e solo se $b ∈ L{A_1,A_2. . . ,A_n}$ e fin qui ci arrivo anche io ma poi la dimostrazione continua dicendo che
questo equivale a dire che $L{A_1,A_2, . . . ,A_n) = L{A_1,A_2, . . . ,A_n, b}$ <----- Perché si puo dire questa cosa?
poi la dimostrazione va avanti ma il seguito mi è chiaro il vero problema è quello che ho scritto in rosso qualcuno puo aiutarmi?

[Seneca1]

Se $b \in L{A_1,A_2. . . ,A_n}$, vuol dire che $b$ dipende linearmente da $A_1 , ... , A_n$. Questo significa che se $A_1 , ... , A_n$ generano un certo sottospazio, anche $A_1 , ... , A_n , b$ genereranno lo stesso sottospazio.

Esempio: $(0,0,- 30) \in L{ (0,0,1) }$, hai che $L{ (0,0,1) , (0,0,-30) } = L{ (0,0,1) }$

[megaempire]

e quindi siccome generano lo stesso sottospazio la loro dimensione è uguale?