Dimostrazione teorema di Cramer ...
Durante il mio corso di algebra lineare, non poteva mancare l' enunciazione di questo teorema! 
Peccato che la mia professoressa ne ha tralasciato la dimostrazione!
Mi manca l' ultimo passaggio, aiutatemi!
Ipotesi: sia $A_{nxn}(RR)$ NON singolare $hArr det(A) != 0$
Tesi: Un generico sistema lineare $Avec{x} = {b}$ (1) ha UNA ed UNA SOLA soluzione $X_{i} = \frac{det(A_{i})}{det(A)}$
Dove $A_{i}$ è la matrice dei fattori del sistema che si ottiene sostituendo il vettore dei termini noti alla colonna i-esima della matrice $A$
Dimostrazione:
Essendo $det(A) != 0 hArr$ A è invertibile, dunque moltiplichiamo ambo i membri della (1) per $A^{-1}$ ed utilizziamo la proprietà associativa del prodotto scalare fra matrici (Insomma vi risparmio un pò di passaggi) abbiamo:
$vec{x} = vec{b}*A^{-1}$ ed essendo $A^{-1} = \frac{Agg(A)}{det(A)}$ riscriviamo la (1) come $vec{x} = \frac{vec{b}*Agg(A)}{det(A)}$
Ora come posso passare dal vettore $vec{x}$ ad ogni singolo elemento $X_{i}$ essendo arrivato a questo punto?
Se mi aiutate vi voglio bene!
Peccato che la mia professoressa ne ha tralasciato la dimostrazione!
Mi manca l' ultimo passaggio, aiutatemi!
Ipotesi: sia $A_{nxn}(RR)$ NON singolare $hArr det(A) != 0$
Tesi: Un generico sistema lineare $Avec{x} = {b}$ (1) ha UNA ed UNA SOLA soluzione $X_{i} = \frac{det(A_{i})}{det(A)}$
Dove $A_{i}$ è la matrice dei fattori del sistema che si ottiene sostituendo il vettore dei termini noti alla colonna i-esima della matrice $A$
Dimostrazione:
Essendo $det(A) != 0 hArr$ A è invertibile, dunque moltiplichiamo ambo i membri della (1) per $A^{-1}$ ed utilizziamo la proprietà associativa del prodotto scalare fra matrici (Insomma vi risparmio un pò di passaggi
) abbiamo:$vec{x} = vec{b}*A^{-1}$ ed essendo $A^{-1} = \frac{Agg(A)}{det(A)}$ riscriviamo la (1) come $vec{x} = \frac{vec{b}*Agg(A)}{det(A)}$
Ora come posso passare dal vettore $vec{x}$ ad ogni singolo elemento $X_{i}$ essendo arrivato a questo punto?
Se mi aiutate vi voglio bene!
Risposte
Dai che lo che volete rispondermi... 
Gentilmente, potreste rispondermi?
La mia professoressa non ha dimostrato il teorema, e all' orale di Algebra Lineare viene chiesta questa dimostrazione, e non riesco nè a trovar niente su internet e nè a dimostrarlo.
La mia professoressa non ha dimostrato il teorema, e all' orale di Algebra Lineare viene chiesta questa dimostrazione, e non riesco nè a trovar niente su internet e nè a dimostrarlo.
Come scrivevi tu, devi calcolare il prodotto $"Agg"(A)*vecb$. La riga $i$-esima di questo prodotto, divisa per $det\ A$, è la componente $i$-esima della soluzione. E su questo mi pare di capire che non ci piova.
Si tratta solo di fare due conti, niente di più. Dato un prodotto matrice x vettore colonna, diciamo $M*v$, la riga $i$-esima di questo prodotto è uguale alla riga $i$-esima di $M$ per $v$. (Pacifico questo? Eventualmente guarda qui: http://en.wikipedia.org/wiki/Block_matrix ). Perciò dobbiamo calcolare il prodotto tra la riga $i$-esima di $"Agg"(A)$ e $vecb$:
$(A_{1, i} ... A_{n, i})*((b_1), (vdots), (b_n))=b_1A_{1, i}+...+b_nA_{n, i}$. Prova un po' a sviluppare secondo l'$i$-esima colonna il determinante della matrice che tu hai chiamato $A_i$: che cosa viene fuori?
Ah naturalmente con $A_{i, j}$ sto indicando il cofattore dell'elemento $i, j$-esimo di $A$.
Si tratta solo di fare due conti, niente di più. Dato un prodotto matrice x vettore colonna, diciamo $M*v$, la riga $i$-esima di questo prodotto è uguale alla riga $i$-esima di $M$ per $v$. (Pacifico questo? Eventualmente guarda qui: http://en.wikipedia.org/wiki/Block_matrix ). Perciò dobbiamo calcolare il prodotto tra la riga $i$-esima di $"Agg"(A)$ e $vecb$:
$(A_{1, i} ... A_{n, i})*((b_1), (vdots), (b_n))=b_1A_{1, i}+...+b_nA_{n, i}$. Prova un po' a sviluppare secondo l'$i$-esima colonna il determinante della matrice che tu hai chiamato $A_i$: che cosa viene fuori?
Ah naturalmente con $A_{i, j}$ sto indicando il cofattore dell'elemento $i, j$-esimo di $A$.
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