Dimostrazione Teorema di Cramer
Salve, vorrei avere conferma su questa dimostrazione che è la mia rielaborazione attraverso gli appunti e la dimostrazione del libro del teorema di Cramer. In particolare non sono sicuro di aver scritto tutti gli indici correttamente. Grazie mille.
(N.B.: indico con $ i $ le righe e con $ j $ le colonne).
Sia $ Sigma:A*c=B $ un sistema di Cramer. Allora $ EE !c=(c_1,c_2,...,c_n) $ soluzione di $ Sigma $ e detta $ C_i $ la matrice $ C_i=(A^1,...,A^(1-i),A^(i+1),...,A^n) $ allora $ c_i=detC_i/detA $ per ogni $ i $.
DIM: Poichè $ detA!= 0 $ , $ A $ è invertibile e si ha che: $ c=I_n*c=A^-1*A*c=A^-1*B $ .
Sappiamo che $ A^-1=1/detA*(c_(ji)) $ dove $ c_(ji) $ è il determinante che si ottiene da $ A $ eliminando la i-esima riga e la j-esima colonna: $ c_(ji)=(-1)^(i+j)*detA_(ij) $
Di conseguenza sostituendo si ottiene:
$ c_i=1/detAsum_(i = n\ldots) c_(ji)*b_i=1/detA*sum_(1 =n \ldots) (-1)^(i+j)*b_i*detA_(ij)=detC_i/detA $
(la sommatoria va da i a n). La sommatoria rappresenta lo sviluppo di Laplace rispetto alla j-esima colonna, pertanto si ottiene la tesi.
(N.B.: indico con $ i $ le righe e con $ j $ le colonne).
Sia $ Sigma:A*c=B $ un sistema di Cramer. Allora $ EE !c=(c_1,c_2,...,c_n) $ soluzione di $ Sigma $ e detta $ C_i $ la matrice $ C_i=(A^1,...,A^(1-i),A^(i+1),...,A^n) $ allora $ c_i=detC_i/detA $ per ogni $ i $.
DIM: Poichè $ detA!= 0 $ , $ A $ è invertibile e si ha che: $ c=I_n*c=A^-1*A*c=A^-1*B $ .
Sappiamo che $ A^-1=1/detA*(c_(ji)) $ dove $ c_(ji) $ è il determinante che si ottiene da $ A $ eliminando la i-esima riga e la j-esima colonna: $ c_(ji)=(-1)^(i+j)*detA_(ij) $
Di conseguenza sostituendo si ottiene:
$ c_i=1/detAsum_(i = n\ldots) c_(ji)*b_i=1/detA*sum_(1 =n \ldots) (-1)^(i+j)*b_i*detA_(ij)=detC_i/detA $
(la sommatoria va da i a n). La sommatoria rappresenta lo sviluppo di Laplace rispetto alla j-esima colonna, pertanto si ottiene la tesi.
Risposte
"Trivroach":
$ C_i=(A^1,...,A^(1-i),A^(i+1),...,A^n) $
In realtà è $ C_i=(A^1,...,A^(i-1),B,A^(i+1),...,A^n) $.
"Trivroach":
Sappiamo che $ A^-1=1/detA*(c_(ji)) $ dove $ c_(ji) $ è il determinante che si ottiene da $ A $ eliminando la i-esima riga e la j-esima colonna: $ c_(ji)=(-1)^(i+j)*detA_(ij) $
Di solito si mette prima la $i$ e poi la $j$: $c_{ij}$.
"Trivroach":
$ c_i=1/detAsum_(i = n\ldots) c_(ji)*b_i=1/detA*sum_(1 =n \ldots) (-1)^(i+j)*b_i*detA_(ij)=detC_i/detA $
Questi indici non hanno senso...
Si hai ragione, quella sommatoria non significa nulla.
Propongo la dimostrazione del mio libro.
Sia $ Sigma :A*c=B $ un sistema di Cramer. Allora $ EE !c=(c_1,c_2,...,c_n) $ soluzione di $ Sigma $ e detta $ C_j $ la matrice $ C_j=(A^1,...,A^(j-1),B,A^(j+1),...,A^n) $ si ha che $ c_i=detC_j/detA $.
Dim.: Ripetendo lo stesso ragionamento come scritto sopra sia ha che: $ c=A^-1*B $. A questo punto il libro scrive: $ c_j=(A^-1)_j*B $ che è uguale a (abbiate pazienza, non riesco a scrivere la sommatoria con Sigma):
$ prod_(k = 1)^(n) c_(jk)*b_k=1/detA* prod_(k = 1)^(n)(-1)^(j+k)*b_k*detA_(kj)=detC_j/detA $
essendo $c_(jk)=(-1)^j*detA_(kj) $ con $ j=1,...,n. $
Non mi è chiaro come fa a passare dal quel prodotto a quella sommatoria includendo anche $ b_(jk) $.
Sia $ Sigma :A*c=B $ un sistema di Cramer. Allora $ EE !c=(c_1,c_2,...,c_n) $ soluzione di $ Sigma $ e detta $ C_j $ la matrice $ C_j=(A^1,...,A^(j-1),B,A^(j+1),...,A^n) $ si ha che $ c_i=detC_j/detA $.
Dim.: Ripetendo lo stesso ragionamento come scritto sopra sia ha che: $ c=A^-1*B $. A questo punto il libro scrive: $ c_j=(A^-1)_j*B $ che è uguale a (abbiate pazienza, non riesco a scrivere la sommatoria con Sigma):
$ prod_(k = 1)^(n) c_(jk)*b_k=1/detA* prod_(k = 1)^(n)(-1)^(j+k)*b_k*detA_(kj)=detC_j/detA $
essendo $c_(jk)=(-1)^j*detA_(kj) $ con $ j=1,...,n. $
Non mi è chiaro come fa a passare dal quel prodotto a quella sommatoria includendo anche $ b_(jk) $.
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