Dimostrazione teorema di Cramer

[Eduadie]

Salve ragazzi, sto preparando l'orale di Matematica e mentre apprendevo la dimostrazione del Teorema di Cramer non sono riuscito a capire due passaggi importanti (anche se il primo più o meno potrei esserci, per il secondo no ).
Dimostrando l'unicità della soluzione poichè la matrice A è invertibile:
$A^-1*A*X=B hArr X = A^-1*B$. Se X è soluzione deve essere data dalla formula che ho scritto. (mi spiegate il perchè?).
Dopo bisogna dimostrare che la soluzione sia effettivamente data da:
$A^-1*B$ dimostrando che:
$A*(A^-1*B) = (A*A^-1)*B = I*B = B$.

Perchè?
Scusatemi se non sono chiaro, o non ho dato tutte le informazioni necessarie, spero comunque che qualcuno possa aiutarmi.
Grazie.

[DavideGenova1]

"Eduadie":$A^-1*A*X=B hArr X = A^-1*B$.

Ci dev'essere un errore: (se $A$ è invertibile) $A\mathbf{X}=B hArr \mathbf{X} = A^-1 B$.

"Eduadie":Dopo bisogna dimostrare che la soluzione sia effettivamente data da:
$A^-1*B$ dimostrando che:
$A*(A^-1*B) = (A*A^-1)*B = I*B = B$.

Per la proprietà associativa del prodotto matriciale.
Spero di avere un po' chiarito qualche dubbio...
Ciao!

[Eduadie]

"DavideGenova":[quote="Eduadie"]$A^-1*A*X=B hArr X = A^-1*B$.

Ci dev'essere un errore: $A^-1 A\mathbf{X}=B hArr \mathbf{X} = A^-1 B$.

"Eduadie":Dopo bisogna dimostrare che la soluzione sia effettivamente data da:
$A^-1*B$ dimostrando che:
$A*(A^-1*B) = (A*A^-1)*B = I*B = B$.

Per la proprietà associativa del prodotto matriciale.
Spero di avere un po' chiarito qualche dubbio...
Ciao![/quote]

Certo, sul secondo passaggio ci sono.
Sul primo ancora no, potresti spiegarti meglio?

Grazie ancora!

[DavideGenova1]

Abbi pazienza: ci dev'essere un errore, ma non ho scritto quale...
Ammesso che $A$ sia invertibile (che è nelle ipotesi del teorema di Cramer), allora $A\mathbf{X}=B hArr \mathbf{X} = A^-1 B$.