Dimostrazione teorema del completamento da wikipedia

[angeloferrari]

Questa è la dimostrazione del teorema del completamento della base presa da wiki che l'ha presa dal Lang ( il libro di testo del corso tra l'altro) dite che può andare considerando che è la stessa del mio libro solo spiegata (forse) meglio? la prof l'ha dimostrato in maniera anche piuttosto contorta e lunga, non capendo la sua dimostrazione ha senso ricordarla a memoria, preferirei ricordare questa dato che è semplice e chiara e per fortuna l'ho capita!

Il teorema di completamento a base

Sia $V$ uno spazio vettoriale su un campo $k$ , di dimensione $n$ . Il teorema di completamento a base, anche detto teorema della base incompleta, asserisce che se $v_1,...,v_k$ sono vettori linearmente indipendenti in$V$ si ha:
Il numero $k$ è minore o uguale a $n$ .
Se $k
Dimostrazione e algoritmo
La dimostrazione fornisce un algoritmo che consente di trovare concretamente i vettori $v_(k+1),...,v_n$ . Sia $v_1,...,v_k$ un sottoinsieme di $V$ composto da vettori linearmente indipendenti. Si aggiunga al sottoinsieme una base nota $w_1,...w_n$ dello spazio $V$ . Si ottiene quindi l'insieme ordinato: $S=(v_1,...,v_k,w_1,...,w_n)$

L'insieme genera tutto lo spazio , ed è allora possibile applicare l'algoritmo di estrazione di una base. Questo algoritmo elimina, partendo da sinistra, quei vettori che sono dipendenti dai vettori precedenti. Poiché i primi $k$ sono indipendenti, l'algoritmo eliminerà soltanto alcuni dei vettori $w_i$, ottenendo una base contenente $v_1,...,v_k$ .