Dimostrazione tensore skw
Salve ragazzi, dovrei dimostrare la seguente relazione:
$dot R(t)*R(t)^{T} in SKW$ dove i tensori R appartengono a Rot.
Sono partito dal fatto che R essendo rot, sono degli orth, quindi vale $R(t)*R(t)^{T} = I$. Ora derivo rispetto al tempo ed ottengo $dot R(t)* dot R(t)^{T} = 0$
Come posso andare avanti?
Saluti
$dot R(t)*R(t)^{T} in SKW$ dove i tensori R appartengono a Rot.
Sono partito dal fatto che R essendo rot, sono degli orth, quindi vale $R(t)*R(t)^{T} = I$. Ora derivo rispetto al tempo ed ottengo $dot R(t)* dot R(t)^{T} = 0$
Come posso andare avanti?
Saluti
Risposte
Puoi definire cos'è $SKW$ per favore?
Rot e Orth sono le matrici di rotazione risp. ortogonali vero?
Rot e Orth sono le matrici di rotazione risp. ortogonali vero?
Andiamo con ordine:
Se $t\mapsto R(t)$ è una curva di matrici ortogonali (cioè $R(t)\in SO_n(\RR)$ per ogni $t\in RR$), le sue colonne sono interpretabili come vettori di una base di $\RR^n$. Allora la derivata della suddetta curva di matrici è una matrice le cui colonne si scriveranno come comb, lineare dei vettori della suddetta base: vale in poche parole
$\dot R= AR$
in più dato che $R$ è ortogonale si ha
$\frac{d}{dt}R(t) R(t)^t = \frac{d}{dt}\mathbb{I} = \mathbb{O}$
cioè per la regola di Leibniz
$\dot R(t)R(t)^t + R(t)\dot R(t)^t=\mathbb{O}$
A questo punto (la derivazione commuta con la trasposizione)
$AR R^t + R R^t A^t = A+A^t = \mathbb{O}$
cioè la matrice di cambio di base è antisimmetrica. Tale matrice (si vede subito) è $A=\dot R R^t$
Spero sia chiaro.
Se $t\mapsto R(t)$ è una curva di matrici ortogonali (cioè $R(t)\in SO_n(\RR)$ per ogni $t\in RR$), le sue colonne sono interpretabili come vettori di una base di $\RR^n$. Allora la derivata della suddetta curva di matrici è una matrice le cui colonne si scriveranno come comb, lineare dei vettori della suddetta base: vale in poche parole
$\dot R= AR$
in più dato che $R$ è ortogonale si ha
$\frac{d}{dt}R(t) R(t)^t = \frac{d}{dt}\mathbb{I} = \mathbb{O}$
cioè per la regola di Leibniz
$\dot R(t)R(t)^t + R(t)\dot R(t)^t=\mathbb{O}$
A questo punto (la derivazione commuta con la trasposizione)
$AR R^t + R R^t A^t = A+A^t = \mathbb{O}$
cioè la matrice di cambio di base è antisimmetrica. Tale matrice (si vede subito) è $A=\dot R R^t$
Spero sia chiaro.
ciao
grazie ad entrambi per le risposte
@pat87:Skw sta d indicare che le matrici che appartengo a questo spazio sono emisimmetriche.
@killing_buddha:potresti, per cortesia, rispiegarmi il primo e l'ultimo passaggio(che sono poi quelli chiave)?
scusami ma con la geometria non ho una grande affinità.
ciao!
grazie ad entrambi per le risposte
@pat87:Skw sta d indicare che le matrici che appartengo a questo spazio sono emisimmetriche.
@killing_buddha:potresti, per cortesia, rispiegarmi il primo e l'ultimo passaggio(che sono poi quelli chiave)?
scusami ma con la geometria non ho una grande affinità.
ciao!
con la geometria non ho una grande affinità.
Cos'era, una battuta?
Comunque, l'ultimo passaggio e' banale, tenuto conto che $R R^t$ e' la matrice identica. Il primo non so a quale tu ti riferisca: una curva (nel nostro caso di matrici ortogonali, ma puoi sempre pensare $M_n(\mathbb{K})$ come naturalmente isomorfo a $\mathbb{K}^{n^2}$) si deriva sulle componenti, e' un fatto base di Analisi in piu' dimensioni. Subito dopo si applica ne' piu' ne' meno che la regola di Leibniz per la derivazione di un prodotto, regola che a quanto mi risulta vale in qualunque spazio di funzioni che possegga struttura di algebra
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