Dimostrazione Sulla linearita di una funzione.

[sili921]

Negli esercizi dati della professoressa, c'è una dimostrazione che mi sembra un pò strana, non so come comportarmi:

Dimostrare che $ f: E->F $ è lineare se e solo se $ f(a u + b v) = a f(u) + b f(v) $ con $ a,b € R $ e $ u,v € E $

dunque a me verrebbe da dire che se la funzione è lineare allora per definizione sappiamo che la somma e la moltiplicazione per scalare danno quei risultati.

il viceversa, ovvero sapendo che $ f(a u + b v) = a f(u) + b f(v) $ con $ a,b € R $ e $ u,v € E $

non basta sempre la definizione?

Sicuramente mi sto sbagliando! Necessito un chiarimento

[minomic]

Ciao, che io sappia il fatto che una funzione sia lineare significa che $$f(u+v) = f(u)+f(v) \\ f(\alpha u) = \alpha f(u)$$ Quella da te citata è una conseguenza. Se vogliamo è abbastanza ovvia però è da dimostrare!

[sili921]

Tu dici che se io combino le due qui sopra è fatta? Ahahah non ci credo! Effettivamente è il primo esercizio del foglio potrebbe essere, grazie!

[minomic]

Secondo me sì. Dovrebbe essere sufficiente dire $$
f(\alpha u + \beta v) = f(\alpha u) + f(\beta v) = \alpha f(u) + \beta f(v)
$$

[marco.bre]

Definisci \(\displaystyle f:E \to F \) lineare se
(L1) \(\displaystyle f(v+w)=f(v)+f(w) \;\; \forall v,w \in E \)
(L2) \(\displaystyle f(cv)=cf(v) \;\; \forall v \in E, \forall c \in \mathbb K \)

$f$ è lineare \(\displaystyle \Leftrightarrow f(av+bw)=af(v)+bf(w)\;\;\forall v,w \in E, \forall a,b \in \mathbb K\)

\(\displaystyle (\Rightarrow) \) basta mettere insieme (L1) e (L2)
\(\displaystyle (\Leftarrow) \) \(\displaystyle f(av+bw)=af(v)+bf(w) \) vale \(\displaystyle \forall a,b \in \mathbb K \), in particolare per \(\displaystyle a=b=1 \) e quindi vale (L1); \(\displaystyle f(av+bw)=af(v)+bf(w) \) vale \(\displaystyle \forall v,w \in E \), in particolare per \(\displaystyle w=0 \) (vettore nullo) e quindi vale (L2)