Dimostrazione sul rango tra due matrici

[jin85]

Salve ragazzi..non riesco a dimostrare questo esercizio..:

Abbiamo B=UAV con U e V invertibili e conformi

Il rango(B) è uguale al rango(A)?



Grazie per il vostro aiuto..

[Steven11]

[mod="Steven"]Topic doppio nella medesima sezione.

Chiudo.[/mod]

[mod="Steven"]L'altro è sparito, deduco che l'hai tolto.
Questo lo sblocco, in ogni caso ti chiederei di mostrare tentativi di risoluzione, come prescrive il regolamento, che dovresti aver letto.[/mod]

[jin85]

per il topic doppio: semplicemente ne ho aperti due perchè trattavano due argomenti diversi..quindi anche per consultazioni future da parte di altri utenti sarebbe inopportuno raggruppare tutto in un unico topic.Tuttavia io non l'ho cancellato..non so che fine abbia fatto :S

come tentativo di risoluzione io sono arrivato a dimostrare che A e B sono quadrate e della stessa grandezza di U e V...più di questo non ho saputo dimostrare..per questo ho cercato aiuto nel forum..

[Gatto891]

Ti basta dimostrare che moltiplicando $A$ per una matrice invertibile il rango non cambia.

Se non sbaglio ti serve solo che $r(C_1C_2) \leq min(r(C_1), r(C_2))$

[dissonance]

"Gatto89":Se non sbaglio ti serve solo che $r(C_1C_2) \leq min(r(C_1), r(C_2))$

Io direi che è ancora più semplice. Come dici tu, ciò che serve è dimostrare che, data $U$ matrice $ntimesn$ invertibile, e $A$ matrice $ntimesm$, il rango di $UA$ è uguale al rango di $A$, i.e. moltiplicando a sinistra per una matrice invertibile il rango non cambia. Chiaramente con un ragionamento analogo proveremo che anche moltiplicando a destra per una matrice invertibile il rango non cambia.

E questo io lo vedrei così:
indichiamo con $A_{(1)}, ..., A_{(m)}$ le colonne di $A$. Allora le colonne di $UA$ sono $UA_{(1)},..., UA_{(m)}$, come si verifica immediatamente partizionando $A$ per colonne. E adesso è facile, perché un insieme di colonne di $UA$, diciamo $UA_{(i_1)}, ..., UA_{(i_k)}$, è linearmente indipendente se e solo se $A_{(i_1)}, ...,A_{(i_k)}$ sono linearmente indipendenti (segue dall'invertibilità di $U$).

[jin85]

"dissonance":[quote="Gatto89"]Se non sbaglio ti serve solo che $r(C_1C_2) \leq min(r(C_1), r(C_2))$

Io direi che è ancora più semplice. Come dici tu, ciò che serve è dimostrare che, data $U$ matrice $ntimesn$ invertibile, e $A$ matrice $ntimesm$, il rango di $UA$ è uguale al rango di $A$, i.e. moltiplicando a sinistra per una matrice invertibile il rango non cambia. Chiaramente con un ragionamento analogo proveremo che anche moltiplicando a destra per una matrice invertibile il rango non cambia.

E questo io lo vedrei così:
indichiamo con $A_{(1)}, ..., A_{(m)}$ le colonne di $A$. Allora le colonne di $UA$ sono $UA_{(1)},..., UA_{(m)}$, come si verifica immediatamente partizionando $A$ per colonne. E adesso è facile, perché un insieme di colonne di $UA$, diciamo $UA_{(i_1)}, ..., UA_{(i_k)}$, è linearmente indipendente se e solo se $A_{(i_1)}, ...,A_{(i_k)}$ sono linearmente indipendenti (segue dall'invertibilità di $U$).[/quote]

ma come facciamo a dire che le colonne di A sono linearmente indipendenti?non abbiamo nessuna informazione sulla matrice A.

[apatriarca]

Ma abbiamo informazioni sulla matrice $U$. Due vettori $v_1$ e $v_2$ sono linearmente indipendenti se e solo se $Uv_1$ e $Uv_2$ lo sono, con $U$ invertibile. Prova a dimostrarlo. Se quindi prendiamo il sottospazio generato da un insieme di vettori (le colonne di $A$ ad esempio) allora la dimensione del sottospazio generato non cambia quando questo viene trasformato tramite $U$.

[Gatto891]

"dissonance":[quote="Gatto89"]Se non sbaglio ti serve solo che $r(C_1C_2) \leq min(r(C_1), r(C_2))$

Io direi che è ancora più semplice.[/quote]
Più semplice di:
$r(UA) \leq r(A) = r((U^(-1)U)A) = r(U^(-1)(UA)) \leq r(UA)$ ?

[dissonance]

@Gatto: Più semplice nella dimostrazione, intendevo . Chiaro che quello proposto da te è il caso generale.