Dimostrazione sui sottospazi affini

[Hop Frog1]

Ho una dimostrazione sui sottospazi affini che non riesco a concludere...

Siano E,F due k-spazi vettoriale, A sottospazio affine di F e u:E -> F applicazione affine.
Dimostrare che la controimmagine di A rispetto u è un sottospazio affine di E.

Io ho iniziato a definire questo insieme, ovvero:
[tex]u^{-1}(A) = {x \in E | u(x) \in A }[/tex]
Devo dunque trovare un sottospazio vettoriale tale che questo insieme appena definito sia il traslato di questo ssv.
Mi è anche venuto in mente che l insieme appena definito si può riscrivere così:
[tex]u^{-1}(A) = {x \in E | u(x) = s+a }[/tex]
, dove s è un elemento di un ssv S e a è un vettore tale che:
u(x)=v(x)+a
capito cosa intendo? la definizione di applicazione lineare..
tutto questo va bene o sono proprio fuori strada??

[mistake89]

Non è detto che io ti sappia aiutare, però il messaggio non è molto chiaro. Hai detto sottospazio affine di uno spazio vettoriale (il che non ha senso), l'applicazione $u$ è definita in qualche modo? e $v(x)$ cos'è?
Scusami ma non riesco a capire. Se potessi scrivere la tratta per intero e precisamente sarebbe meglio.

[apatriarca]

$A$ è un sottospazio affine e quindi è il traslato di un qualche sottospazio vettoriale $W \subseteq F$ per un qualche vettore $a \in F$. A sua volta l'applicazione affine $u$ è composta da una trasformazione lineare invertibile $\varphi$ e da una traslazione per un vettore $v \in F$. Cioè, $\forall x \in E, u(x) = \varphi(x) + v$. La controimmagine di un elemento $y \in F$ è quindi $u^{-1}(y) = \varphi^{-1}(y - v)$.
In particolare,
$u^{-1}(A) = u^{-1}(a + W) = \varphi^{-1}(a + W - v) = \varphi^{-1}(W) - \varphi^{-1}(a - v)$.
La controimmagine di $A$ è quindi un sottospazio affine come volevasi dimostrare.