Dimostrazione su una curva
sia $C={(x,y) in RR^2 | y^2=x^3$ parametrizzata da $sigma(t)=(t^2,t^3)$
dimostrare che per ogni parametrizzazione $phi$ di $Im(sigma)$, cioè ogni $phi : I->RR^2$ con $Im(phi)=C$, non può essere regolare, ovvero per ogni $t_0$ tale che $phi(t_0)=(0,0)$ si ha $phi'(t_0)=(0,0)$
Disegnando il grafico di $C$ ho capito che la tesi è vera poiché immaginando di muovermi sulla curva, nel punto $(0,0)$ devo per forza fermarmi e cambiare direzione poiché $(0,0)$ è un punto di cuspide.
Tuttavia non riesco a capire come dimostrare la tesi in maniera rigorosa e formale: qualcuno potrebbe darmi una mano?
Infatti non mi è chiaro da dove partire: suppongo di prendere una generica $phi$ tale che $Im(phi)=C$ e tale che $phi(t_0)=(0,0)$ ma poi non so se devo definirla questa $phi$ in tal caso data la sua generalità non avrei idea su come definirla) oppure devo fare un altro ragionamento per giungere a dire che $phi'(t_0)=(0,0)$
grazie mille
dimostrare che per ogni parametrizzazione $phi$ di $Im(sigma)$, cioè ogni $phi : I->RR^2$ con $Im(phi)=C$, non può essere regolare, ovvero per ogni $t_0$ tale che $phi(t_0)=(0,0)$ si ha $phi'(t_0)=(0,0)$
Disegnando il grafico di $C$ ho capito che la tesi è vera poiché immaginando di muovermi sulla curva, nel punto $(0,0)$ devo per forza fermarmi e cambiare direzione poiché $(0,0)$ è un punto di cuspide.
Tuttavia non riesco a capire come dimostrare la tesi in maniera rigorosa e formale: qualcuno potrebbe darmi una mano?
Infatti non mi è chiaro da dove partire: suppongo di prendere una generica $phi$ tale che $Im(phi)=C$ e tale che $phi(t_0)=(0,0)$ ma poi non so se devo definirla questa $phi$ in tal caso data la sua generalità non avrei idea su come definirla) oppure devo fare un altro ragionamento per giungere a dire che $phi'(t_0)=(0,0)$
grazie mille
Risposte
Ciao, prima di tutto cos'è $I$? Immagino che sia $I=RR$.
Secondo, prova a definire $f$ come la composizione [tex]\sigma^{-1} \circ \phi: \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex] (l'inversa di $sigma$ è definita sulla sua immagine $C$ perché $sigma$ è iniettiva). Abbiamo quindi che
[tex]\phi(t) = \sigma(f(t)) = (f(t)^2,f(t)^3)[/tex].
Ora basta che fai i conti.
Secondo, prova a definire $f$ come la composizione [tex]\sigma^{-1} \circ \phi: \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex] (l'inversa di $sigma$ è definita sulla sua immagine $C$ perché $sigma$ è iniettiva). Abbiamo quindi che
[tex]\phi(t) = \sigma(f(t)) = (f(t)^2,f(t)^3)[/tex].
Ora basta che fai i conti.
ciao, allora $I$ non lo ha specificato il nostro professore, ma di solito con $I$ indica un intervallo aperto. Ma magari qui voleva proprio $I=RR$
passando invece al suggerimento, ho capito che $f$ può esistere ma sinceramente non ho capito la sua utilità e mi spiego:
$phi(t)=(f(t)^2,f(t)^3)$ ma ora non ho compreso come debba sfruttare l'ipotesi iniziale $phi(0)=(0,0)$ e che conti debba fare perchè
$phi(0)=(f(0)^2,f(0)^3)$ ma non ho ora compreso che valori assuma $f$;
inoltre quando calcolo la derivata di $phi(t)$ ottengo (ho dubbi sulla correttezza del conto):
$phi'(t)=(2f(t)*f'(t),3f(t)^2*f'(t))$
ma da qui non ho poi come capito come debba agire.
Grazie per un'eventuale risposta
passando invece al suggerimento, ho capito che $f$ può esistere ma sinceramente non ho capito la sua utilità e mi spiego:
$phi(t)=(f(t)^2,f(t)^3)$ ma ora non ho compreso come debba sfruttare l'ipotesi iniziale $phi(0)=(0,0)$ e che conti debba fare perchè
$phi(0)=(f(0)^2,f(0)^3)$ ma non ho ora compreso che valori assuma $f$;
inoltre quando calcolo la derivata di $phi(t)$ ottengo (ho dubbi sulla correttezza del conto):
$phi'(t)=(2f(t)*f'(t),3f(t)^2*f'(t))$
ma da qui non ho poi come capito come debba agire.
Grazie per un'eventuale risposta
"Aletzunny":Non c'è questa ipotesi. Nel testo dice solo che esiste $t_0 in I$ tale che $phi(t_0)=(0,0)$.
non ho compreso come debba sfruttare l'ipotesi iniziale $phi(0)=(0,0)$
$phi'(t)=(2f(t)*f'(t),3f(t)^2*f'(t))$Sostituisci $t=t_0$.
ma da qui non ho poi come capito come debba agire.
Allora pensavo che $phi(t)=(0,0)$ fosse un'ipotesi dato il tale che.
Si non ho compreso però cosa faccia $t_0$, nel senso non ho compreso cosa comporti.
Grazie
Si non ho compreso però cosa faccia $t_0$, nel senso non ho compreso cosa comporti.
Grazie
È tutto qui, veramente non so che altro dirti. Sostituisci $t=t_0$ e usa le ipotesi.
Perdonami, ma non ho capito allora quale siano le ipotesi allora perché la mia tesi è dimostrare che $phi'(t_0)=(0,0)$.
E se sostituiscono $t_0$ ho $phi'(t_0)=(2f(t_0)*f'(t_0),3f(t_0)^2*f'(t_0))$ ma non ho capito cosa possa concludere.
Per ipotesi non so che $f(t_0)=0$ oppure non mi è chiaro qualcosa sul valore di $f$ in $t_0$?
Grazie
E se sostituiscono $t_0$ ho $phi'(t_0)=(2f(t_0)*f'(t_0),3f(t_0)^2*f'(t_0))$ ma non ho capito cosa possa concludere.
Per ipotesi non so che $f(t_0)=0$ oppure non mi è chiaro qualcosa sul valore di $f$ in $t_0$?
Grazie
Ma tu sai che $phi(t_0)=(0,0)$. D'altra parte $phi(t)=(f(t)^2,f(t)^3)$ per ogni $t$. Quindi?
Cavolo! È vero...quindi $f(t_0)=0$ e di conseguenza si ha la tesi!
Grazie
Grazie
Prego 
Sottolineo che il ragionamento vale per qualsiasi parametrizzazione di \(\sigma\).
@Aletzunny ti è chiaro questo passaggio?
@Aletzunny ti è chiaro questo passaggio?
Chiaro è un parolone poiché ho iniziato da poco con le curve, se ti va di affinarlo saresti gentilissimo!
Ho compreso la costruzione di $f$ ma in effetti se devo essere onesto non mi è chiaro al 100% poiché tale ragionamento vale per ogni parametrizzazione di $sigma$
Facciamo mezzo passo in avanti: ti è chiaro il perché la proprietà del punto \((0,0)\) di essere singolare non deve dipendere dalla particolare parametrizzazione?
Come avevo scritto nel mio tentativo penso dipende dal fatto che esso è un punto di cuspide, abbastanza evidente quando si disegna la curva
Sì, nel senso che: cambiando la parametrizzazione comunque deve risultare singolare; nel caso specifico, deve sempre risultare una cuspide.
Se tu prendessi una qualsiasi parametrizzazione: cosa intenderesti per quest'ultima?
Se tu prendessi una qualsiasi parametrizzazione: cosa intenderesti per quest'ultima?
onestamente non ho capito "cosa intenderesti per quest'ultima? ".
intendi qual è il significato di parametrizzare una curva?
intendi qual è il significato di parametrizzare una curva?
Non il significato: cosa sarebbe una parametrizzazione?
Perdonami il linguaggio basico: sarebbe la rappresentazione di una curva attraverso un solo parametro, di solito $t$, tale che $sigma(t)$ al variare di $t$ rappresenta la curva data.
Già va meglio; formalmente \(\displaystyle Im(\sigma)=C\).
Per gli scopi dell'esercizio: basta chiedere che \(\displaystyle\sigma\) sia una funzione, o necessitiamo di qualche altra ipotesi, oltre quella su scritta?
Per gli scopi dell'esercizio: basta chiedere che \(\displaystyle\sigma\) sia una funzione, o necessitiamo di qualche altra ipotesi, oltre quella su scritta?
Non deve essere appunto che $sigma(0)=(0,0)$?
Magari sono fuori strada invece
Magari sono fuori strada invece
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo