Dimostrazione su una curva
sia $C={(x,y) in RR^2 | y^2=x^3$ parametrizzata da $sigma(t)=(t^2,t^3)$
dimostrare che per ogni parametrizzazione $phi$ di $Im(sigma)$, cioè ogni $phi : I->RR^2$ con $Im(phi)=C$, non può essere regolare, ovvero per ogni $t_0$ tale che $phi(t_0)=(0,0)$ si ha $phi'(t_0)=(0,0)$
Disegnando il grafico di $C$ ho capito che la tesi è vera poiché immaginando di muovermi sulla curva, nel punto $(0,0)$ devo per forza fermarmi e cambiare direzione poiché $(0,0)$ è un punto di cuspide.
Tuttavia non riesco a capire come dimostrare la tesi in maniera rigorosa e formale: qualcuno potrebbe darmi una mano?
Infatti non mi è chiaro da dove partire: suppongo di prendere una generica $phi$ tale che $Im(phi)=C$ e tale che $phi(t_0)=(0,0)$ ma poi non so se devo definirla questa $phi$ in tal caso data la sua generalità non avrei idea su come definirla) oppure devo fare un altro ragionamento per giungere a dire che $phi'(t_0)=(0,0)$
grazie mille
dimostrare che per ogni parametrizzazione $phi$ di $Im(sigma)$, cioè ogni $phi : I->RR^2$ con $Im(phi)=C$, non può essere regolare, ovvero per ogni $t_0$ tale che $phi(t_0)=(0,0)$ si ha $phi'(t_0)=(0,0)$
Disegnando il grafico di $C$ ho capito che la tesi è vera poiché immaginando di muovermi sulla curva, nel punto $(0,0)$ devo per forza fermarmi e cambiare direzione poiché $(0,0)$ è un punto di cuspide.
Tuttavia non riesco a capire come dimostrare la tesi in maniera rigorosa e formale: qualcuno potrebbe darmi una mano?
Infatti non mi è chiaro da dove partire: suppongo di prendere una generica $phi$ tale che $Im(phi)=C$ e tale che $phi(t_0)=(0,0)$ ma poi non so se devo definirla questa $phi$ in tal caso data la sua generalità non avrei idea su come definirla) oppure devo fare un altro ragionamento per giungere a dire che $phi'(t_0)=(0,0)$
grazie mille
Risposte
"Martino":
Prego
colgo l'occasione per chiedere un altro aspetto che mi ero perso dell'esercizio e che il mio professore ha detto essere molto banale, ovvero dimostrare che $tau: R->Im(sigma)$ è omeomorfismo: qui purtroppo ho provato ad applicare la definizione:
Un omeomorfismo fra due spazi topologici $A$ e $B$ è una funzione continua $f:A->B$ che è anche biunivoca e la cui inversa $f^(-1):B->A$ è anch'essa continua.
ma non mi è chiaro 1) perchè è banale che esista $tau$ e 2) come dimostrarlo in modo formale.
Grazie mille
Cos'è $tau$?
l'ha data come una nuova funzione , poichè prima il docente aveva scritto di dimostrare che $sigma:R->Im(sigma)$ sia omeomorfismo.
anche se l'ultima scrittura non so quanto senso possa avere.
Perchè la sua idea è quella di voler farci mostrare che $Im(sigma)$ è omeomorfo a $RR$
anche se l'ultima scrittura non so quanto senso possa avere.
Perchè la sua idea è quella di voler farci mostrare che $Im(sigma)$ è omeomorfo a $RR$
"Martino":
Cos'è $tau$?
data la didattica a distanza, ho potuto chiedere subito via chat al docente: mi ha detto che la tesi è dimostrare che $sigma:RR->Im(sigma)$ è omeomorfismo e cosi, automaticamente, si prova che $Im(sigma)$ è omeomorfa a $RR$.
ma ora non capisco cosa voglia dire $sigma:RR->Im(sigma)$ e come procedere.
grazie
E' la funzione definita da $sigma(t)=(t^2,t^3)$. Calcolane l'inversa! (La sai calcolare?).
Mi sono sul fatto "è la funzione definita..."
Perché calcolarne l'inversa?
Non ho capito il ragionamento alla base.
Sul calcolo dell'inversa ho qualche dubbio:
$sigma^(-1)(t)=(sqrt(|t|),t^(1/3))$
Non so se è necessario il $| |$
Grazie
Perché calcolarne l'inversa?
Non ho capito il ragionamento alla base.
Sul calcolo dell'inversa ho qualche dubbio:
$sigma^(-1)(t)=(sqrt(|t|),t^(1/3))$
Non so se è necessario il $| |$
Grazie
@Aletzunny Non ti chiedo di svolgere l'esercizio come un novello Frénet, ma non puoi saltare da una domanda a un'altra quando non ti sono chiare le altre: così diventa impossibile aiutarti!
Può essere che mi sbaglio, ma non ti è chiaro cosa sia una curva liscia o \(\displaystyle C^{\infty}\), cosa significa parametrizzarla, e poi passi a chiedere altro... Oppure conosci queste nozioni?
Se puoi postare in ordine le domande attualmente in sospeso, ci aiuteresti ad aiutarti!
Può essere che mi sbaglio, ma non ti è chiaro cosa sia una curva liscia o \(\displaystyle C^{\infty}\), cosa significa parametrizzarla, e poi passi a chiedere altro... Oppure conosci queste nozioni?
Se puoi postare in ordine le domande attualmente in sospeso, ci aiuteresti ad aiutarti!
Era semplicemente che "mancava" un pezzo di esercizio poiché il docente lo ha inserito successivamente nel pdf.
Una curva è $C^(infty)$ se è derivabile con continuità per ogni $k>=0$ , ovvero è di classe $C^k$
Una curva parametrizzata di $RR^n$ è una funzione $sigma: I->RR^n$ di classe $C^(infty)$ con $I$ intervallo.
Le domande in sospeso sono:
1) dimostrare che $sigma: RR->Im(sigma)$ è omeomorfismo
2) capire per vale per ogni parametrizzazione di $sigma$ la tesi del post iniziale
Una curva è $C^(infty)$ se è derivabile con continuità per ogni $k>=0$ , ovvero è di classe $C^k$
Una curva parametrizzata di $RR^n$ è una funzione $sigma: I->RR^n$ di classe $C^(infty)$ con $I$ intervallo.
Le domande in sospeso sono:
1) dimostrare che $sigma: RR->Im(sigma)$ è omeomorfismo
2) capire per vale per ogni parametrizzazione di $sigma$ la tesi del post iniziale
"Aletzunny":
Sul calcolo dell'inversa ho qualche dubbio:
$sigma^(-1)(t)=(sqrt(|t|),t^(1/3))$
Non so se è necessario il $| |$
Scusa se te lo dico, ma ho l'impressione che ti manchino nozioni molto molto di base. Oppure non rifletti a sufficienza e scrivi la prima cosa che ti viene in mente. Secondo me dovresti dedicare molto più tempo alla riflessione, prenditi un'ora, due ore, il tempo che ti serve.
L'inversa di $sigma$ ha come dominio $Im(sigma)$ e come codominio $RR$, e quindi ha come argomento una coppia $(x,y)$ con la proprietà che $x^3=y^2$ e deve restituire come valore un numero reale.
$sigma^(-1)(x,y)=$ ?? $in RR$.
tranquillo non mi offendo! quindi io parto da:
$(sigma)^(-1) : Im(sigma)->RR$
e per quel poco che riesco ad immaginare della situazione se parto dalla $Im(sigma)$ allora $sigma^(-1)(x,y)=t$ perchè avrò che $sigma(t)=(x,y) in Im(sigma)$
$(sigma)^(-1) : Im(sigma)->RR$
e per quel poco che riesco ad immaginare della situazione se parto dalla $Im(sigma)$ allora $sigma^(-1)(x,y)=t$ perchè avrò che $sigma(t)=(x,y) in Im(sigma)$
Ma cos'è $t$? $sigma^(-1)(x,y)$ deve dipendere da $x$ e $y$.
allora $t$ deve essere l'immagine di $(sigma)^(-1) (x,y)$ $ in RR$ e fin qui ok! ma non ho proprio capito come posso far dipendere un solo parametro da $2$ variabili, o meglio non riesco a calcolare esplicitamente l'espressione di $sigma^(-1)$.
$t->(t^2,t^3)$ e $sigma^(-1):(t^2,t^3)=Im(sigma)->? in RR$ ma questo elemento $?$ deve essere legato necessariamente all'$(x,y)=(t^2,t^3)$ in base al $t$ scelto .
$t->(t^2,t^3)$ e $sigma^(-1):(t^2,t^3)=Im(sigma)->? in RR$ ma questo elemento $?$ deve essere legato necessariamente all'$(x,y)=(t^2,t^3)$ in base al $t$ scelto .
Te lo dico io: [tex]\sigma^{-1}(x,y)=\sqrt[3]{y}[/tex].
Perché non definirla come [tex]\sigma^{-1}(x,y)=\sqrt[2]{x}[/tex]? Perché questa funzione non sarebbe iniettiva: manderebbe $(1,1)$ e $(1,-1)$ entrambi in $1$.
Se la funzione $sigma: RR to RR^2$ fosse stata definita come $sigma(t)=(t^2,t^4)$ allora non sarebbe stata iniettiva e quindi (dopo aver ristretto il codominio all'immagine) non avrebbe ammesso inversa.
Perché non definirla come [tex]\sigma^{-1}(x,y)=\sqrt[2]{x}[/tex]? Perché questa funzione non sarebbe iniettiva: manderebbe $(1,1)$ e $(1,-1)$ entrambi in $1$.
Se la funzione $sigma: RR to RR^2$ fosse stata definita come $sigma(t)=(t^2,t^4)$ allora non sarebbe stata iniettiva e quindi (dopo aver ristretto il codominio all'immagine) non avrebbe ammesso inversa.
Onestamente non ci ero proprio arrivato!
Tuttavia ho un dubbio: io sapevo che una generica $y=f(x)$ ha CNS per l'invertibilità il fatto che $f(x)$ sia iniettiva e suriettiva.
Qui perché mi interessa la iniettività di $ sigma^(-1)$ e non di $sigma:RR->Im(sigma)$? E ciò implica anche il fatto $sigma^(-1)=y^(1/3)$
Però cosi ottenego che $(sigma)^(-1)$ è una funzione continua e di conseguenza ottengo la tesi, ovvero che $sigma:R->Im(sigma)$ è omeomorfismo.
Ho capito correttamente?
Tuttavia ho un dubbio: io sapevo che una generica $y=f(x)$ ha CNS per l'invertibilità il fatto che $f(x)$ sia iniettiva e suriettiva.
Qui perché mi interessa la iniettività di $ sigma^(-1)$ e non di $sigma:RR->Im(sigma)$? E ciò implica anche il fatto $sigma^(-1)=y^(1/3)$
Però cosi ottenego che $(sigma)^(-1)$ è una funzione continua e di conseguenza ottengo la tesi, ovvero che $sigma:R->Im(sigma)$ è omeomorfismo.
Ho capito correttamente?
L'idea è che tu vuoi recuperare $t$ conoscendo la coppia $(x,y)=(t^2,t^3)$ (che vuol dire che $x=t^2$ e $y=t^3$). Come fai? L'equazione $t^2=x$ non è sufficiente perché a un dato $x$ (positivo o nullo) possono corrispondere due valori di $t$, cioè [tex]\sqrt{x}[/tex] e [tex]-\sqrt{x}[/tex]. Quindi bisogna usare $y$. E sapendo che $y=t^3$ è chiaro che [tex]t=\sqrt[3]{y}[/tex]. Per ogni $y in RR$ esiste un unico $t in RR$ tale che $y=t^3$, è la sua (unica) radice cubica.
Ora, sulla continuità di $Im(sigma) to RR$, [tex](x,y) \mapsto \sqrt[3]{y}[/tex], potresti considerarla come una cosa ovvia oppure dimostrarla con tutti i dettagli, dipende dalla tua sensibilità.
Ora, sulla continuità di $Im(sigma) to RR$, [tex](x,y) \mapsto \sqrt[3]{y}[/tex], potresti considerarla come una cosa ovvia oppure dimostrarla con tutti i dettagli, dipende dalla tua sensibilità.
Ho capito!
la radice cubica è definita su tutto $RR$ ed continua, quindi posso affermare con certezza che $sigma^(-1)$ sia continua.
Grazie mille per la pazienza e la disponibilità!
la radice cubica è definita su tutto $RR$ ed continua, quindi posso affermare con certezza che $sigma^(-1)$ sia continua.
Grazie mille per la pazienza e la disponibilità!
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