Dimostrazione su matrici
aiutatemi per favore non riesco a trovare nulla a riguardo.
Siano A, B e C tre matrici invertibili n×n. Dimostrare che ABC è invertibile e verificare che $(ABC)^-1 = C^-1 B^-1 A^-1$
grazie
Siano A, B e C tre matrici invertibili n×n. Dimostrare che ABC è invertibile e verificare che $(ABC)^-1 = C^-1 B^-1 A^-1$
grazie
Risposte
Per il primo quesito:
Se $A$,$B$,$C in M_n(K)$ sono invertibili, i tre numeri $det (A)$, $det (B)$, $det (C)$ sono tutti diversi da zero. Conseguenza del teorema di Binet è che il determinante della matrice $A*B*C$ è dato dal prodotto dei tre singoli determinanti. Quindi $A*B*C$ è invertibile (in quanto $det(A*B*C)=det(A)*det(B)*det(C)!=0$).
Per il secondo quesito:
Devi verificare che $A*B*C*(C^-1 *B^-1 *A^-1)$ sia la matrice identica... Ricordando che il prodotto di matrici è associativo, si praticano le ovvie semplificazioni...
$A*B*(C*C^-1)*B^-1* A^-1 = A*(B*B^-1) *A^-1 = A*A^-1 = 1_n $
Se $A$,$B$,$C in M_n(K)$ sono invertibili, i tre numeri $det (A)$, $det (B)$, $det (C)$ sono tutti diversi da zero. Conseguenza del teorema di Binet è che il determinante della matrice $A*B*C$ è dato dal prodotto dei tre singoli determinanti. Quindi $A*B*C$ è invertibile (in quanto $det(A*B*C)=det(A)*det(B)*det(C)!=0$).
Per il secondo quesito:
Devi verificare che $A*B*C*(C^-1 *B^-1 *A^-1)$ sia la matrice identica... Ricordando che il prodotto di matrici è associativo, si praticano le ovvie semplificazioni...
$A*B*(C*C^-1)*B^-1* A^-1 = A*(B*B^-1) *A^-1 = A*A^-1 = 1_n $
"Dorian":
Per il primo quesito:
Se $A$,$B$,$C in M_n(K)$ sono invertibili, i tre numeri $det (A)$, $det (B)$, $det (C)$ sono tutti diversi da zero. Conseguenza del teorema di Binet è che il determinante della matrice $A*B*C$ è dato dal prodotto dei tre singoli determinanti. Quindi $A*B*C$ è invertibile (in quanto $det(A*B*C)=det(A)*det(B)*det(C)!=0$).
Per il secondo quesito:
Devi verificare che $A*B*C*(C^-1 *B^-1 *A^-1)$ sia la matrice identica... Ricordando che il prodotto di matrici è associativo, si praticano le ovvie semplificazioni...
$A*B*(C*C^-1)*B^-1* A^-1 = A*(B*B^-1) *A^-1 = A*A^-1 = 1_n $
Non credo che occorra distinguere i due quesiti. Rispondere al secondo implica aver risposto al primo, no?
(in particolare non è necessario usare Binet).
"Martino":
[quote="Dorian"]Per il primo quesito:
Se $A$,$B$,$C in M_n(K)$ sono invertibili, i tre numeri $det (A)$, $det (B)$, $det (C)$ sono tutti diversi da zero. Conseguenza del teorema di Binet è che il determinante della matrice $A*B*C$ è dato dal prodotto dei tre singoli determinanti. Quindi $A*B*C$ è invertibile (in quanto $det(A*B*C)=det(A)*det(B)*det(C)!=0$).
Per il secondo quesito:
Devi verificare che $A*B*C*(C^-1 *B^-1 *A^-1)$ sia la matrice identica... Ricordando che il prodotto di matrici è associativo, si praticano le ovvie semplificazioni...
$A*B*(C*C^-1)*B^-1* A^-1 = A*(B*B^-1) *A^-1 = A*A^-1 = 1_n $
Non credo che occorra distinguere i due quesiti. Rispondere al secondo implica aver risposto al primo, no?
(in particolare non è necessario usare Binet).[/quote]Non condivido le sue asserzioni... Lei come avrebbe fatto?... Uso Binet perchè credo sia il punto fondamentale della dimostrazione... Gioco sul fatto che $det(A)!=0$ se e solo se $A$ è invertibile... Inoltre il primo punto chiede di mostrare l'esistenza dell'inversa, il secondo chiede di dire chi è l'inversa (dando come ipotesi l'esistenza)...
Apprezzo la sua attenzione, sperando in un chiarimento...
Aggiungo: è chiaro che si può dimostrare anche in altri modi (pensando che le matrici invertibili formano un sottogruppo rispetto al prodotto), però usando Binet funziona tutto lo stesso,concorda?!
Sarà sciocca come domanda, ma esiste una ragione per cui la trasposizione e l'inversione "twistano" le matrici? Sono state definite così, oppure esiste una ragione più primitiva per questo fatto?
vediamo la trasposta: sia A una matrice nxm e B una matrice mxn. Se non faccio casino con gli indici visto il sonno, la motivazione del perchè
$(AB)^(t)=B^(t)A^(t)$ può essere la seguente:
vediamo l'entrata $[AB]_(ij)=sum_(j=1)^msum_((i)=1)^na_(ij)b_(ji)=>[(AB)^(t)]_(ij)=(sum_(j=1)^msum_(i=1)^na_(ij)b_(ji))^t=>(sum_(j=1)^msum_(i=1)^na_(ij)b_(ji))^t=sum_(j=1)^msum_((i)=1)^na_(ji)b_(ij)$ cioè trasponendo si inverton righe con colonne di indice...quindi per far valere il prodotto per avere una matrici delle dimensioni uguali a quella precedente si ha $sum_(j=1)^msum_((i)=1)^nb_(ij)a_(ji)=[B^t]_(ij)[A^t]_(ij)
$(AB)^(t)=B^(t)A^(t)$ può essere la seguente:
vediamo l'entrata $[AB]_(ij)=sum_(j=1)^msum_((i)=1)^na_(ij)b_(ji)=>[(AB)^(t)]_(ij)=(sum_(j=1)^msum_(i=1)^na_(ij)b_(ji))^t=>(sum_(j=1)^msum_(i=1)^na_(ij)b_(ji))^t=sum_(j=1)^msum_((i)=1)^na_(ji)b_(ij)$ cioè trasponendo si inverton righe con colonne di indice...quindi per far valere il prodotto per avere una matrici delle dimensioni uguali a quella precedente si ha $sum_(j=1)^msum_((i)=1)^nb_(ij)a_(ji)=[B^t]_(ij)[A^t]_(ij)
"Dorian":
[quote="Martino"][quote="Dorian"]Per il primo quesito:
Se $A$,$B$,$C in M_n(K)$ sono invertibili, i tre numeri $det (A)$, $det (B)$, $det (C)$ sono tutti diversi da zero. Conseguenza del teorema di Binet è che il determinante della matrice $A*B*C$ è dato dal prodotto dei tre singoli determinanti. Quindi $A*B*C$ è invertibile (in quanto $det(A*B*C)=det(A)*det(B)*det(C)!=0$).
Per il secondo quesito:
Devi verificare che $A*B*C*(C^-1 *B^-1 *A^-1)$ sia la matrice identica... Ricordando che il prodotto di matrici è associativo, si praticano le ovvie semplificazioni...
$A*B*(C*C^-1)*B^-1* A^-1 = A*(B*B^-1) *A^-1 = A*A^-1 = 1_n $
Non credo che occorra distinguere i due quesiti. Rispondere al secondo implica aver risposto al primo, no?
(in particolare non è necessario usare Binet).[/quote]Non condivido le sue asserzioni... Lei come avrebbe fatto?... Uso Binet perchè credo sia il punto fondamentale della dimostrazione... Gioco sul fatto che $det(A)!=0$ se e solo se $A$ è invertibile... Inoltre il primo punto chiede di mostrare l'esistenza dell'inversa, il secondo chiede di dire chi è l'inversa (dando come ipotesi l'esistenza)...
Apprezzo la sua attenzione, sperando in un chiarimento...
Aggiungo: è chiaro che si può dimostrare anche in altri modi (pensando che le matrici invertibili formano un sottogruppo rispetto al prodotto), però usando Binet funziona tutto lo stesso,concorda?![/quote]
Mi stai mettendo paura. Perché mai mi dai del lei?
Dicevo solo che una matrice è "invertibile" quando esiste la matrice inversa. Ora, dato che nel secondo punto hai esplicitato la matrice inversa, direi che la tua risposta al secondo punto risolve anche il primo. Il tuo procedimento va benissimo, ma usa Binet quando non ce n'è affatto bisogno.
"Martino":[/quote][/quote][/quote]
[quote="Dorian"][quote="Martino"][quote="Dorian"]Per il primo quesito:
Dicevo solo che una matrice è "invertibile" quando esiste la matrice inversa. Ora, dato che nel secondo punto hai esplicitato la matrice inversa, direi che la tua risposta al secondo punto risolve anche il primo. Il tuo procedimento va benissimo, ma usa Binet quando non ce n'è affatto bisogno.
Anch'io sono dello stesso parere - solo mi pare che per far vedere che $M$ è l'inversa di $L$ sia necessario moltiplicare sia a destra che a sinistra:
$LM=I$, $ML=I$
cosa che si fa immediatamente nel caso in questione.
Forse l'uso di Binet è giustificabile se si vuole usare solo l'inversa destra (o sinistra):
$LM=I$, dunque $|L||M|=|LM|=1$ dunque $|L|\ne 0$ dunque esiste $L^{-1}$ dunque $L^{-1}=M$
CONTORTO
grazie mille a tutti, non c'era bisogno del teorema di binet perchè il professore non ne ha mai parlato.
ancora grazie.
ancora grazie.
Sergio e Vicious, avete ragione, bisogna controllare l'invertibilità da entrambe le parti.
Oggi pomeriggio pensavo che un certo lemma avrebbe permesso di controllare l'invertibilità solo da un lato. Il lemma è il seguente:
Lemma: un monoide $M$ in cui ogni elemento è invertibile a destra è un gruppo.
Il problema è che se si mostra che un prodotto di matrici invertibili a destra è invertibile a destra non si può concludere col lemma, perché il fatto che le matrici invertibili formino un monoide è proprio quello che stiamo cercando di dimostrare.
Bon, ho detto la mia fantastico-fesseria quotidiana
saluti.
Oggi pomeriggio pensavo che un certo lemma avrebbe permesso di controllare l'invertibilità solo da un lato. Il lemma è il seguente:
Lemma: un monoide $M$ in cui ogni elemento è invertibile a destra è un gruppo.
Il problema è che se si mostra che un prodotto di matrici invertibili a destra è invertibile a destra non si può concludere col lemma, perché il fatto che le matrici invertibili formino un monoide è proprio quello che stiamo cercando di dimostrare.
Bon, ho detto la mia fantastico-fesseria quotidiana
saluti.
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