Dimostrazione spazio vettoriale

[process11]

sia $V=KxK$ con le operazioni definite in questo modo:
$+: VxV->V$
$+: (lambda,eta),(lambda',eta')=(lambda+lambda'),(eta+eta')$
e sia:
$*KxV->V$
$*: (lambda,(a,b))=(lambdaa*lambdab)$
ora devo dimostrare che $(KxK,+,*)$ è uno spazio vettoriale.
la prima proprietà di uno spazio vettoriale è la proprietà associativa.
Ma non ho la minima idea di come approcciare qui questa proprietà. Se devo scrivere qualcosa scriverei:
$ AA lambda,eta,eta' in V (lambda+eta)+eta'=lambda+(eta+eta')$
non ho la minima idea di come dimostrarla però...

[j18eos]

Attenzione che in [tex]$\mathbb{V}$[/tex] vi sono coppie di elementi del campo (?) [tex]$\mathbb{K}$[/tex].

[process11]

si $K$ è un campo...dunque se non ho capito male la prima proprietà deve essere cosi:
$ AA lambda, eta, lambda', eta' in V$ allora $(lambda,eta)+(lambda',eta')=(eta+lambda)+(eta'+lambda')$
è giusto?se ciò che ho scritto è giusto ciò è verificato per la definizione di +

[process11]

mi potreste dire se è giusto o no per favore?

[cirasa]

Non è giusto.
Per dimostrare la proprietà associativa devi mostrare che per ogni [tex](\lambda,\eta),(\lambda',\eta'),(\lambda'',\eta'')\in\mathbb{K}\times\mathbb{K}[/tex] si ha che
[tex]$ \big((\lambda,\eta)+(\lambda',\eta')\big)+(\lambda'',\eta'')=(\lambda,\eta)+\big((\lambda',\eta')+(\lambda'',\eta'')\big)[/tex].

[process11]

ottimo, quindi ad esempio per la proprietà 2, cioè l'esistenza dell'elemento neutro devo verificare che:
$ EE (0,0) in KxK$ tale che $ AA (lambda,eta) in KxK$ $(lambda,eta)+(0,0)=(lambda,eta)=(0,0)+(lambda,eta)$
io dico che esiste per come ho definito il +, cioè sommando posto per posto
infatti:
$(lambda,eta)+(0,0)=(lambda+0,eta+0)=(lambda,eta)$
cosi come l'opposto di $(lambda,eta)$ sarà $(-lambda,-eta)$, ok?

[cirasa]

Ok.