Dimostrazione spazi topologici
Ciao a tutti!
L'esame di Geometria III si avvicina e sto lavorando su degli esercizi proposti dal nostro insegnante. Proprio non so come svolgere due di questi, connessi tra loro. I libri e internet non mi sono stati di alcun aiuto, perché danno l'argomento per scontato. Ho consultato anche i miei compagni di corso e anche loro sono in difficoltà. Potreste aiutarmi voi dandomi, quanto meno, una traccia della soluzione? I testi sono i seguenti:
"Si dimostri che $ P^2 $ (il piano proiettivo) è una superficie topologica, cioè ogni punto di $ P^2 $ ha un intorno omeomorfo ad un aperto di $ RR ^2 $ . Si provi inoltre che $ P^2 $ è compatto e connesso".
"Si dimostri che il toro $ T^2 $ è una superficie topologica, cioè ogni punto di $ T^2 $ ha un intorno omeomorfo ad un aperto di $ RR ^2 $ . Si provi inoltre che $ T^2 $ è compatto e connesso. Infine si dica se $ RR ^2 // ZZ ^2 $ con la topologia quoziente è una superficie topologica".
L'esame di Geometria III si avvicina e sto lavorando su degli esercizi proposti dal nostro insegnante. Proprio non so come svolgere due di questi, connessi tra loro. I libri e internet non mi sono stati di alcun aiuto, perché danno l'argomento per scontato. Ho consultato anche i miei compagni di corso e anche loro sono in difficoltà. Potreste aiutarmi voi dandomi, quanto meno, una traccia della soluzione? I testi sono i seguenti:
"Si dimostri che $ P^2 $ (il piano proiettivo) è una superficie topologica, cioè ogni punto di $ P^2 $ ha un intorno omeomorfo ad un aperto di $ RR ^2 $ . Si provi inoltre che $ P^2 $ è compatto e connesso".
"Si dimostri che il toro $ T^2 $ è una superficie topologica, cioè ogni punto di $ T^2 $ ha un intorno omeomorfo ad un aperto di $ RR ^2 $ . Si provi inoltre che $ T^2 $ è compatto e connesso. Infine si dica se $ RR ^2 // ZZ ^2 $ con la topologia quoziente è una superficie topologica".
Risposte
Molto dipende da come hai definito le due superfici. Esistono più modi per definire quelle due superfici.
Prova a scrivere almeno qualche idea che ti è venuta per risolvere questi esercizi. Comunque per fare questi esercizi è molto utile la rappresentazione di questi spazi come quozienti di poligoni tramite un'opportuna identificazione dei lati. E' così che avete costruito toro e piano proiettivo (e poi anche sfera, bottiglia di klein e somme connesse varie)??
Intendi dire usando una triangolazione? Avevo già pensato a qualcosa di simile, ma non so come applicarla... Adesso ci ragiono un po' su...
Sto parlando della tecnica a cui si accenna qui nella sezione chiamata "il quadrato". Identificando i lati del quadrato in modo diverso si possono ottenere il toro, il piano proiettivo, la sfera e la bottiglia di klein. Moltissimi risultati di topologia algebrica, compresa la classificazione delle superfici compatte, si ottengono sfruttando questa tecnica.
Oooh, adesso ho capito cosa devo fare! Vi ringrazio tantissimo per il vostro aiuto 
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