Dimostrazione sottospazio vettoriale

[in_me_i_trust]

So che per voi sarà una sciocchezza ma ho un problema con questo esercizietto. Devo dimostrare che detto $V$ uno spazio vettoriale e detti $U_(1)$ e $U_(2)$ due sottospazi di $V$, allora $U=U_(1)\uu U_(2)$ non è un sottospazio vettoriale..A dire la verità non mi torna neanche intuitivamente..Potreste darmi un' idea?

[_Tipper]

Per convincerti intuitivamente, considera, in $\mathbb{R}^2$, due rette (distinte) passanti per l'origine, sono due spazi vettoriali (ovviamente rispetto alla somma fra vettori e al prodotto per scalare). L'unione non è uno spazio vettoriale, ad esempio non è chiuso rispetto alla somma.

Attenzione però: se $U_1$ e $U_2$ sono spazi vettoriali, non è detto che $U_1 \cup U_2$ non sia uno spazio vettoriale, se infatti $U_1 \subseteq U_2$ o viceversa l'unione è (ovviamente) uno spazio vettoriale.

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Per esercizio puoi provare a mostrare che se $U_1,U_2$ sono sottospazi di $V$, allora $U_1 \cup U_2$ è sottospazio se e solo se uno tra $U_1$ e $U_2$ è contenuto nell'altro.

[Gaal Dornick]

In generale qualsiasi proprietà non è detto si conservi quando si passa all'unione, mentre sicuramente si conserva per il passaggio all'intersezione.

A questo siamo pervenuti dopo una lunga mattinata di lezioni, e abbiamo capito! Ecco perchè il governo è sempre in bilico! Dovevano prendere l'intersezione!

[in_me_i_trust]

Ok mi avete convinto psicologicamente però adesso vi voglio far vedere nello specifico dove mi blocco, allora a lezione ci è stato dimostrato che l'intersezione è un sottospazio in questo modo:

Detto $U=U_(1)\nn U_(2)$ con $U_(1)$ e $U_(2)$ sottospazi di $V$, considero $\bar(u),\bar(\bar(u))\in U$

quindi $\bar(u)\in U_(1)$ ma anche $\bar(u)\in U_(2)$, lo stesso per $\bar(bar(u))$, ma allora deve valere

$\alpha\bar(u)+\beta\bar(\bar(u))\in U_(1)$ e $\alpha\bar(u)+\beta\bar(\bar(u))\in U_(2)$

cioè $\alpha\bar(u)+\beta\bar(\bar(u))\in U_(1)\nn U_(2)=U$

Ora se io applico un procedimento del genere ad $U=U_(1)\uu U_(2)$ ho il problema che se prendo $\bar(u),\bar(\bar(u))\in U$ in generale non appartengono entrambi ad $U_(1)$ e nemmeno ad $U_(2)$ però per dimostrare che in generale $U$ non è un sottospazio dovrei mostrare che $\alpha\bar(u)+\beta\bar(\bar(u))$ non appartiene ad $U$..Formalmente non so come farlo vedere

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Per mostrare che l'unione di due sottospazi è un sottospazio se e solo se uno dei due è contenuto nell'altro, puoi cominciare così:

Prendi V, e due sottospazi U, W. Assumi che la loro unione sia un sottospazio. Supponi per assurdo che esistano u in U-W e w in W-U, e prova a domandarti cosa accade a u+w.

[in_me_i_trust]

Spero di non dire megacavolate, allora U-W e W-U dovrebbero essere disgiunti inoltre essi sono sottoinsiemi di $U\uu W$ però non è detto che siano SSV giusto? Ma anche se lo sono se prendo $u\in U-W$ e $w\in W-U$ e ne faccio una combinazione lineare nessuno mi dice che essa debba appartenere ad $U\uu W$, ma poichè fanno parte di $U\uu W$, per ipotesi assurda la combinazione dovrebbe appartenervi e quindi si entra in contrasto..può essere qualcosa del genere? uff..sono proprio negato nel ragionamento logico..

[in_me_i_trust]

No ho detto na cavolata...Ci devo pensare