Dimostrazione relazione di Grassmann

[matematicus95]

nella parte finale della dimostrazione della relazione di Grassmann si fa uso del fatto che visto una parte dei coefficienti è nulla allora segue che anche l'altra parte è nulla perché i vettori sono linearmente indipendenti. io non sono d'accordo con questa cosa infatti pongo un controesempio: ho la seguente combinazione lineare: $a(1,1,0)+b(1,0,0)+c(2,1,0)=0$ allora i primi due non sono dipendenti e allora segue che $a=b=0$ e quindi andando a sostituire ho che $c(2,1,0)=0$ e quindi c=0 ma ciò non è vero. Perché nella dimostrazione di Grassmann di utilizza questo procedimento?

[Gi81]

Non riesco a capire quello che vuoi dire.
Per caso la dimostrazione che stai seguendo è quella che c'è su wikipedia? Lì mi sembra scritta bene

[matematicus95]

si è quella: nella parte finale della dimostrazione si fa uso del fatto che una parte dei coefficienti $\gamma_i$ è nulla perché i vettori sono linearmente indipendenti e poi elimina i vettori che avevano come coefficienti gamma, e infine anche i coefficienti di $u$ e $v$ sono nulli. Perchè?

[Gi81]

tieni presente $B= {v_1,...,v_d}$ è base di $U nn W$ e che $ B uu B_W= {v_1,...,v_d,w_1,..,w_t}$ è base di $W$.

Il vettore $w = gamma_1 w_1 + ... + gamma_t w_t$ ovviamente appartiene a $W$.
Dato che $w= - u-v$ con $u,v in U$, si ha che $w in U$, pertanto $w in U nn W$;
quindi $w$ è esprimibile come combinazione lineare di elementi di $B$: $w= a_1 v_1+...a_d v_d$

Dunque abbiamo $gamma_1 w_1 + ... + gamma_t w_t= a_1 v_1+...a_d v_d$, cioè
$ a_1 v_1+...a_d v_d - gamma_1 w_1 - ... - gamma_t w_t=0$
Ma come ho detto prima $B uu B_W$ è base, quindi i suoi elementi sono linearmente indipendenti,
pertanto $a_1=...=a_d= -gamma_1= ... = -gamma_t=0$.

Dunque, in particolare, $gamma_1 = ...= gamma_t=0$.

Fin qui ci sei?

[matematicus95]

sisi da qui in poi sorge il problema, perché è cose se dicessi (come nell'esempio che ho fatto) che il vettore 1 e 2 sono indipenti quindi $a=b=0$ e si ha c=0 ma ciò non è vero

[Gi81]

il tuo esempio non ha molto senso.
Se abbiamo $a u +b v+c w=0$ con $u,v$ indipendenti non è necessariamente vero che $a=b=0$. Fine.


Tornando al problema, abbiamo dimostrato che i $gamma_i$ sono tutti nulli.
Abbiamo dunque $lambda_1 v_1 +... + lambda_d v_d +mu_1 u_1 +... +mu_s u_s=0$.
Ma ${v_1, ...,v_d, mu_1, ..., mu_s}$ è proprio $B uu B_U$, che è base di $U$, quindi ...

[matematicus95]

se i primi due sono indipendenti si. quindi da $au+bv+cw=0$ si ha che $au+bv=-cw$ e visto che a e b sono indipendenti perchè non proporzionali allora $a=b=0$ quindi si ha $cw=0$ quindi $c=0$ ma il sistema che ho ipotizzato non è indipendente

[Gi81]

"matematicus95":se i primi due sono indipendenti si. quindi da $au+bv+cw=0$ si ha che $au+bv=-cw$ e visto che a e b sono indipendenti perchè non proporzionali allora $a=b=0$ quindi si ha $cw=0$ quindi $c=0$ ma il sistema che ho ipotizzato non è indipendente

Se $u$ e $v$ sono indipendenti puoi solo dire che $a u+ b v =0 => a=b=0$
Se nella combinazione lineare c'è anche un terzo vettore questo discorso non lo puoi fare.

[matematicus95]

cioè in pratica voglio dire che il fatto che una parte di un sistema di vettore sia indipendente e un'altra parte lo sia ciò non implica che tutto il sistema sia indipendente

[matematicus95]

allora anche in grassmann ci sono i vettori $u$ $v$ $w$ poiché a w i coefficienti si annullano allora ci rimane u e v perchè?