Dimostrazione proprietà funzioni continue spazi topologici
Ciao a tutti!! ho da fare questa dimostrazione. Penso di averla fatta ma preferirei qualcuno piu esperto giudicasse la validità della dimostazione.
"Sia $f:X->Y$ una funzione continua tra spazi topologici e sia $Z=Imf$ munito della topologia relativa. Dimostrare che $f$ è continua se e solo se $f2 : X->Z$ definita da $f(x)=f2(x)$ è continua."
Ho fatto come segue.
So che $f:X->Y$ è una funzione continua quindi $f^(-1)(V)$,dove $V sub Y$ è aperto, è aperta. Mostro come $f^(-1)(V) = f2^(-1)(U)$ dove $U= V nn Z$.
$f2^(-1)(U) sub f^(-1)(V)$ perchè $U sub V$.
$f^(-1)(V) sub f2^(-1)(U)$ perchè preso un $x in f^(-1)(V) rArr f(x) in V ^^ f(x) in Imf$ ed essendo $f(x)=f2(x) in U=V nn Imf$
Quindi $f2^(-1)(U)$ è aperto
viceversa:
So che $f2 : X->Z$ è continua. Considero $f2^(-1)(U)$ aperto in $X$ e mostro come $f^(-1)(V) = f2^(-1)(U)$:
$f2^(-1)(U) sub f^(-1)(V)$ perchè $AA x in f2^(-1)(U), f2(x) in U$ ma $f2(x) =f(x), f(x) in V$ perchè $U sub V$.
$f^(-1)(V) sub f2^(-1)(U)$ perchè se $x in f^(-1)(V), f(x) in V$ ma $f(x)=f2(x)$ e $f2(x) in U$.
Quindi $f^(-1)(V)$ è aperto.
E' giusto come raginamento? grazie
"Sia $f:X->Y$ una funzione continua tra spazi topologici e sia $Z=Imf$ munito della topologia relativa. Dimostrare che $f$ è continua se e solo se $f2 : X->Z$ definita da $f(x)=f2(x)$ è continua."
Ho fatto come segue.
So che $f:X->Y$ è una funzione continua quindi $f^(-1)(V)$,dove $V sub Y$ è aperto, è aperta. Mostro come $f^(-1)(V) = f2^(-1)(U)$ dove $U= V nn Z$.
$f2^(-1)(U) sub f^(-1)(V)$ perchè $U sub V$.
$f^(-1)(V) sub f2^(-1)(U)$ perchè preso un $x in f^(-1)(V) rArr f(x) in V ^^ f(x) in Imf$ ed essendo $f(x)=f2(x) in U=V nn Imf$
Quindi $f2^(-1)(U)$ è aperto
viceversa:
So che $f2 : X->Z$ è continua. Considero $f2^(-1)(U)$ aperto in $X$ e mostro come $f^(-1)(V) = f2^(-1)(U)$:
$f2^(-1)(U) sub f^(-1)(V)$ perchè $AA x in f2^(-1)(U), f2(x) in U$ ma $f2(x) =f(x), f(x) in V$ perchè $U sub V$.
$f^(-1)(V) sub f2^(-1)(U)$ perchè se $x in f^(-1)(V), f(x) in V$ ma $f(x)=f2(x)$ e $f2(x) in U$.
Quindi $f^(-1)(V)$ è aperto.
E' giusto come raginamento? grazie
Risposte
Dato che nessuno risponde...
La prima implicazione (malgrado gli errori di notazione, attenzione) a fatica mi sembra corretta!
La prima implicazione (malgrado gli errori di notazione, attenzione) a fatica mi sembra corretta!
Scusa la mia ignoranza, per errori di notazione cosa intendi bene?
Rileggendo in effetti ho notato che mi è scappato un $in$ al posto di un $sub$ e un altro paio di cose del genere.. ti riferisci a questo o intendi altro?
La seconda invece?
Rileggendo in effetti ho notato che mi è scappato un $in$ al posto di un $sub$ e un altro paio di cose del genere.. ti riferisci a questo o intendi altro?
La seconda invece?
Sì, mi sono riferito a quegli errori: se li potresti correggere, grazie! 
Ho corretto tutti quelli che ho notato;) grazie ancora!!
Per l'altra implicazione: non ti pare banale che \(f^{-1}(V)=f_2^{-1}(U)\) sotto le opportune ipotesi?
Non ho capito cosa intendi sai:)! SI tutto l'esercizio di per se mi sembra banale e(ovvio)! si poteva anche utilizzare la funzione inclusione vedendo ogni elemento di $Z$ come elemento di $Y$
"Vanzan":Intendevo quello che hai scritto, e che non ho riportato!
Non ho capito cosa intendi sai:)!...
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