Dimostrazione proprietà del determinante

[matteja]

Salve a tutti, ho un problema con una dimostrazione di alg lineare. C'è un passaggio che proprio non riesco a capire, speravo che mi poteste spiegare due cose.
Se si scambiano due colonne il determinante cambia segno

Dim:

$A_{q}$ = $B_{p}$ $=>$ $A_{p}$ = $B_{q}$

detB = $\epsilon_{j1,....,jp,....,jq,....,jn}$$B_{j11} ... B_{jpp} ... B_{jqq} ... B_{jn n}$ =

= $\epsilon_{j1,....,jp,....,jq,....,jn}$$A_{j11 }... A_{jpq} ... A_{jqp} ... A_{jn n}$ =

= $\epsilon_{j1,....,jp,....,jq,....,jn}$$A_{j11} ... A_{jqp} ... A_{jpq} ... A_{jn n}$ =

= $\epsilon_{j1,....,jq,....,jp,....,jn}$$A_{j11} .. .A_{jpp} ... A_{jqq} ... A_{jn n}$ =

= - $\epsilon_{j1,....,jp,....,jq,....,jn}$$A_{j11} ... A_{jpp} ... A_{jqq} ... A_{jn n}$ = -detA

quello che non ho capito è perchè alla fine cambia il segno. Cioè nel penultimo passaggio scambia l' ordine di p e q nell' epsilon senza cambiare il segno e sostituisce a jq jp, in modo che venga Ajpp e Ajqq ma nell' ultimo passaggio, scambia di nuovo l' ordine e cambia il segno... non capisco perchè

[luca961]

Potresti spiegare in due parole le notazioni?

[killing_buddha]

Se credi al teorema di Binet, o se lo sai dimostrare, lo scambio di due colonne/righe si realizza moltiplicando a destra/sinistra per una matrice che ha determinante -1. Sono le matrici che realizzano i 2-cicli, all'interno della rappresentazione (morfismo di gruppi) $Sym(n)\rightarrow GL(n,k)$ e' facile ed istruttivo scriversele almeno una volta.

[matteja]

"killing_buddha":Se credi al teorema di Binet, o se lo sai dimostrare, lo scambio di due colonne/righe si realizza moltiplicando a destra/sinistra per una matrice che ha determinante -1. Sono le matrici che realizzano i 2-cicli, all'interno della rappresentazione (morfismo di gruppi) $Sym(n)\rightarrow GL(n,k)$ e' facile ed istruttivo scriversele almeno una volta.

No non conosco il teorema di Binet comunque grazie

"luca96":Potresti spiegare in due parole le notazioni?

epsilon simbolo di Levi Civita e il resto è lo sviluppo della matrice

[luca961]

Ok forse ci sono. Intanto quando scambi la p con la q sia nel tensore Levi-Cita sia nello sviluppo non cambiano i segni, perché si tratta solo di un operazione formale dato che gli indici sono muti. A questo punto si opera solo su Levi-Cita. Come dovresti sapere esso è un tensore completamente emisimmetrico, quindi con una qualsiasi permutazione dispari degli indici il segno cambia. Lo scambio di due indici è una dispari, dunque...

[killing_buddha]

E' bizzarro che tu non sappia cos'e' il teorema di Binet ($\det AB=\det A \cdot \det B$) e invece sappia cos'e' il simbolo di Levi-Civita...

[matteja]

"killing_buddha":E' bizzarro che tu non sappia cos'e' il teorema di Binet ($\det AB=\det A \cdot \det B$) e invece sappia cos'e' il simbolo di Levi-Civita...

Lo conosco ma non sapevo che si chiamasse di Binet