Dimostrazione prodotto tra matrici e identità
Salve,
come devo fare per dimostrare che: data una matrice A n x p allora I[size=85]n[/size]A = A = AI[size=85]p[/size]
Intendendo con I le matrici identità di A (n e p sono i loro rispettivi ordini).
Ovviamente non ho dubbi che sia vero (è di immediata comprensione), tuttavia non riesco a dimostrarlo
Se potete spiegarmi anche come ragionate di fronte ad una dimostrazione ve ne sarei grato, perchè ho parecchie difficoltà a dimostrare anche cose che sembrano banali (tipo questa).
Grazie
come devo fare per dimostrare che: data una matrice A n x p allora I[size=85]n[/size]A = A = AI[size=85]p[/size]
Intendendo con I le matrici identità di A (n e p sono i loro rispettivi ordini).
Ovviamente non ho dubbi che sia vero (è di immediata comprensione), tuttavia non riesco a dimostrarlo
Se potete spiegarmi anche come ragionate di fronte ad una dimostrazione ve ne sarei grato, perchè ho parecchie difficoltà a dimostrare anche cose che sembrano banali (tipo questa).
Grazie
Risposte
Dimostrare? Mah, io direi che è più una conseguenza logica del fatto che l'insieme delle matrici di qualsiasi ordine è un anello con unità non commutativo rispetto alla moltiplicazione.
Ok, ma se io volessi dimostrare che i coefficienti della prima matrice sono uguali alla seconda potrei farlo, o sbaglio?
ciampax, sacrosante parole.. però mi lasci perplesso. Non mi risulta che le matrici non quadrate costituiscano un anello.
Il prodotto matriciale non è interno. Costituiscono un anello le matrici quadrate. Se sbaglio correggimi.
Tornando a noi.
Vogliamo provare che data $A=(a^i_j) in M_(n,p)(K)$ e $I_n$ si ha che $AI_n=A$ (l'altro caso è analogo e lo lascio a te)
La matrice $A$ ha $n$ righe e $I_n$ ha $n$ colonne e quindi sono moltiplicabili.
E inoltre sia $AI_n$ e sia $A$ hanno lo stesso ordine. Cioè $nxp$ . Ciò di cui dobbiamo preoccuparci è che i coefficienti delle due matrici sono uguali.
Denoto con $\delta^i_j $ il simbolo di Kronecker. Per definizione pongo $\delta^i_j=1 , $se $i=j$ e $delta^i_j=0 ,$ se $i!=j$.
$AA i,j in {1,...,n} $. .
Consideriamo (qui considero l'elemento di posto i-j della matrice prodotto) $(AI_n)^i_j := \sum_(k=1)^n a^i_k\delta^k_j$={esplicito}=$a^i_1\delta^1_j+a^i_2\delta^2_j+.....+a^i_j\delta^j_j+...+a^i_n\delta^n_j$
Ora per definizione del simbolo di Kronecker (tutte le $i!=j$ si annullano) hai che $AA i,j in {1,...,n} : (AI_n)^i_j=a^i_j=(A)^i_j$.
Se noti errori fammelo presente.
Il prodotto matriciale non è interno. Costituiscono un anello le matrici quadrate. Se sbaglio correggimi.
Tornando a noi.
Vogliamo provare che data $A=(a^i_j) in M_(n,p)(K)$ e $I_n$ si ha che $AI_n=A$ (l'altro caso è analogo e lo lascio a te)
La matrice $A$ ha $n$ righe e $I_n$ ha $n$ colonne e quindi sono moltiplicabili.
E inoltre sia $AI_n$ e sia $A$ hanno lo stesso ordine. Cioè $nxp$ . Ciò di cui dobbiamo preoccuparci è che i coefficienti delle due matrici sono uguali.
Denoto con $\delta^i_j $ il simbolo di Kronecker. Per definizione pongo $\delta^i_j=1 , $se $i=j$ e $delta^i_j=0 ,$ se $i!=j$.
$AA i,j in {1,...,n} $. .
Consideriamo (qui considero l'elemento di posto i-j della matrice prodotto) $(AI_n)^i_j := \sum_(k=1)^n a^i_k\delta^k_j$={esplicito}=$a^i_1\delta^1_j+a^i_2\delta^2_j+.....+a^i_j\delta^j_j+...+a^i_n\delta^n_j$
Ora per definizione del simbolo di Kronecker (tutte le $i!=j$ si annullano) hai che $AA i,j in {1,...,n} : (AI_n)^i_j=a^i_j=(A)^i_j$.
Se noti errori fammelo presente.
Ops, pardon: è che Binary ha scritto senza il tex e leggendo di fretta non avevo capito che si trattasse di matrici rettangolari (anche perché il prodotto "interno" tra due di esse non si può definire). La dimostrazione è corretta.
Apprezzo moltissimo le vostre risposte, soprattutto perchè immagino che a voi queste domande sembrano banali e quindi vi fa ancora più "onore" 
Tuttavia non capisco alcune cose:
1) $A=(a^i_j)$ questa è la notazione compatta per esprimere una matrice e fino a qua non ci piove, ma la seconda parte non l'ho mai vista scritta $in M_(n,p)(K)$ e quindi non so cosa significhi.
2) Il simbolo di Kronecker non l'ho mai visto. Ho letto sul mio libro di algebra lineare che esistono modi diversi per esprimere il prodotto tra matrici (tra cui Kronecker) però c'è anche scritto che non verrà preso (per ora) in considerazione e quindi la tua risposta mi spiazza un po'
Comunque, la prima parte della tua risposta l'ho capita: due matrici per essere uguali devono avere la stessa forma e gli stessi coefficienti e tu hai dimostrato che la stessa forma ce l'hanno, quindi rimangono da prendere in considerazione i coefficienti. Però come ti ho detto Kronecker per me è arabo
Se riuscite a spiegarmelo senza utilizzarlo mi fareste un gran favore, soprattutto perchè finchè non riesco a capire la dimostrazione ci rimango sopra a costo di passarci i prossimi 3 anni
Vi ringrazio ancora
Tuttavia non capisco alcune cose:
1) $A=(a^i_j)$ questa è la notazione compatta per esprimere una matrice e fino a qua non ci piove, ma la seconda parte non l'ho mai vista scritta $in M_(n,p)(K)$ e quindi non so cosa significhi.
2) Il simbolo di Kronecker non l'ho mai visto. Ho letto sul mio libro di algebra lineare che esistono modi diversi per esprimere il prodotto tra matrici (tra cui Kronecker) però c'è anche scritto che non verrà preso (per ora) in considerazione e quindi la tua risposta mi spiazza un po'
Comunque, la prima parte della tua risposta l'ho capita: due matrici per essere uguali devono avere la stessa forma e gli stessi coefficienti e tu hai dimostrato che la stessa forma ce l'hanno, quindi rimangono da prendere in considerazione i coefficienti. Però come ti ho detto Kronecker per me è arabo
Se riuscite a spiegarmelo senza utilizzarlo mi fareste un gran favore, soprattutto perchè finchè non riesco a capire la dimostrazione ci rimango sopra a costo di passarci i prossimi 3 anni
Vi ringrazio ancora
Penso di esserci riuscito
Cerco di inserire la spiegazione con il tex (mi ci vorrà un po')
spero che possiate confermarmela
Cerco di inserire la spiegazione con il tex (mi ci vorrà un po')
spero che possiate confermarmela
diciamo in parole povere che $\delta^i_j$ per come è definito rappresenta in un certo senso la matrice identica.
Su $I_n$ , gli elementi di posto $i=j$ sono tutti $1$ mentre i restanti tutti zero. Ti torna? . $\delta^i_j$ simula questo fatto.
Con $M_(n,m)(K)$ si indica l'insieme delle matrici con $n$ righe con $m$ colonne a coefficenti in K.
fammi sapere se è tutto chiaro.
guarda qui http://it.wikipedia.org/wiki/Delta_di_Kronecker
Su $I_n$ , gli elementi di posto $i=j$ sono tutti $1$ mentre i restanti tutti zero. Ti torna? . $\delta^i_j$ simula questo fatto.
Con $M_(n,m)(K)$ si indica l'insieme delle matrici con $n$ righe con $m$ colonne a coefficenti in K.
fammi sapere se è tutto chiaro.
guarda qui http://it.wikipedia.org/wiki/Delta_di_Kronecker
"Kashaman":
diciamo in parole povere che $\delta^i_j$ per come è definito rappresenta in un certo senso la matrice identica.
Mah, è fuorviante dire così Fra...Io direi: la matrice identica è quella matrice il cui elemento di posto $ij$ è $\delta^i_j$, ovvero $I_n=(\delta^i_j)_{1\le i,j\le n}$. Ah, comunque:
\[
\delta^i_j=
\begin{cases}
1\qquad \text{se}\ i=j\\
0\qquad \text{se}\ i\ne j\\
\end{cases}
\]
Ciao!
giusto giusè , in effetti è un poco ambigua la cosa.
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